Để rút gọn biểu thức \( E = \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \), ta sẽ tiến hành các bước như sau:

1. **Nhân tử và mẫu**: Ta có thể viết lại \( a \) như là \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} \):
\[
E = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}
\]

2. **Yếu tố hóa tử**: Tử số có thể yếu tố hóa:
\[
E = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 1}
\]

3. **Rút gọn**: Điều kiện \( \sqrt{a} - 1 \neq 0 \) (tức là \( a \neq 1 \)), ta có thể rút gọn biểu thức:
\[
E = \sqrt{a}
\]

Như vậy, biểu thức rút gọn của \( E \) là:
\[
E = \sqrt{a}
\] với điều kiện \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \).