Chúng ta có hình chữ nhật \(ABCD\) với:

- \(AB = 1\)
- \(AD = BC = x\) (gọi chiều dài \(BC\) là \(x\))

Tọa độ các điểm trong hình chữ nhật:

- \(A(0, 0)\)
- \(B(1, 0)\)
- \(C(1, x)\)
- \(D(0, x)\)

Chúng ta xác định tọa độ của các điểm trung gian:

- Trung điểm \(M\) của \(AD\):
\[
M\left(0, \frac{x}{2}\right)
\]

- Trung điểm \(N\) của \(BM\):
\[
N\left(\frac{1+0}{2}, \frac{0+\frac{x}{2}}{2}\right) = N\left(\frac{1}{2}, \frac{x}{4}\right)
\]

- Trung điểm \(I\) của đoạn \(NC\):
\[
I\left(\frac{\frac{1}{2}+1}{2}, \frac{\frac{x}{4}+x}{2}\right) = I\left(\frac{3}{4}, \frac{5x}{8}\right)
\]

Tiếp theo, chúng ta tính vector \( \vec{BI} \) và \( \vec{BM} \):

1. Vector \( \vec{BM} \):
\[
\vec{BM} = M - B = \left(0 - 1, \frac{x}{2} - 0\right) = (-1, \frac{x}{2})
\]

2. Vector \( \vec{BI} \):
\[
\vec{BI} = I - B = \left(\frac{3}{4} - 1, \frac{5x}{8} - 0\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{5x}{8}\right)
\]

Bây giờ, chúng ta tính cosin của góc \(BIM\) bằng công thức:
\[
\cos(BIM) = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{BI}}{|\vec{BM}| |\vec{BI}|}
\]

Tổng quát:
- Tích vô hướng:
\[
\vec{BM} \cdot \vec{BI} = (-1) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{5x}{8}\right) = \frac{1}{4} + \frac{5x^2}{16}
\]

- Độ dài \( |\vec{BM}| \):
\[
|\vec{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{4}}
\]

- Độ dài \( |\vec{BI}| \):
\[
|\vec{BI}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{5x}{8}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{25x^2}{64}} = \sqrt{\frac{4 + 25x^2}{64}} = \frac{\sqrt{4 + 25x^2}}{8}
\]

Thay các biểu thức vào công thức cos:

\[
\cos(BIM) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{5x^2}{16}}{\sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} \cdot \frac{\sqrt{4 + 25x^2}}{8}}
\]

Theo đề bài, \( \cos(BIM) = -\frac{1}{\sqrt{4097}} \). Do đó, ta có:

\[
\frac{1}{4} + \frac{5x^2}{16} = -\frac{1}{\sqrt{4097}} \cdot \sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} \cdot \frac{\sqrt{4 + 25x^2}}{8}
\]

Để tìm \(x\) (chiều cao \(BC\)), bạn có thể giải phương trình này. Nhưng trước tiên, bạn nên làm rõ lại những điều kiện ban đầu và tính toàn cho chính xác các vector để có các giá trị tốt nhất.

Cuối cùng, nếu giải đúng, bạn cần phải sử dụng các công thức cũng như điều kiện để rút ra giá trị \(BC\).\end{document}