Để giải bài toán với các số tự nhiên \( a, b, c \) khác 0 thỏa mãn \( \frac{28}{29} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1 \), ta bắt đầu xem xét điều kiện trên.

Ta có:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < 1
\]

Điều này có nghĩa là \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \) là một tổng nhỏ hơn 1. Điều này chỉ có thể xảy ra khi \( a, b, c \) đều lớn hơn 3. Nếu không, ví dụ nếu một trong b, c nhỏ hơn 3, thì tổng sẽ lớn hơn hoặc bằng 1.

Tiếp theo, ta xem xét điều kiện:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{28}{29}
\]

Khi \( a, b, c \) là các số tự nhiên khác 0, ta đặt \( a \leq b \leq c \). Ta sẽ tìm các giá trị của \( a, b, c \) và kiểm tra các điều kiện trên.

### Bước 1: Tìm giá trị cho a, b, c

Giả sử \( a = 3 \):

Khi \( a = 3 \),

\[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{28}{29} - \frac{1}{3}
\]

Tính toán:

\[
\frac{28}{29} - \frac{1}{3} = \frac{28 \cdot 3 - 29}{29 \cdot 3} = \frac{84 - 29}{87} = \frac{55}{87}
\]

Nên,

\[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{55}{87}
\]

Đối với trường hợp \( b = 3 \):

\[
\frac{1}{c} > \frac{55}{87} - \frac{1}{3} = \frac{55}{87} - \frac{29}{87} = \frac{26}{87}
\]

Tương đương với:

\[
c < \frac{87}{26} \approx 3.35
\]

Do đó \( c \) có thể là 4. Cần kiểm tra:

Giả sử \( b = 3, c = 4 \):

\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}
\]

Điều này thỏa mãn:

\[
\frac{28}{29} < \frac{11}{12} < 1
\]

Vậy \( a = 3, b = 3, c = 4 \).

### Bước 2: Kết luận

Tính tổng \( a + b + c \):

\[
a + b + c = 3 + 3 + 4 = 10
\]

### Tổng tóm lại

Do đó, tổng \( a + b + c = 10 \).