Để chứng minh các điểm a), b), và c) trong bài toán về tam giác ABC, chúng ta sẽ sử dụng các định lý về đồng dạng và tỉ lệ.

### a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE.

Cho \( AE/AC = AD \) và \( AD/AB = 1/3 \).

Gọi \( AE = x \), \( AC = y \), mà theo điều kiện ta có:

\[
\frac{AE}{AC} = \frac{x}{y} = AD \\
AD = \frac{AB}{3}.
\]

Theo điều kiện đã cho, ta có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3},
\]

Điều đó có nghĩa rằng:

- Hai tam giác ABD và ACE có độ dài cạnh tương ứng thỏa mãn tỉ lệ.

Gọi \( AB = b \) và \( AC = a \). Khi đó:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{b}{a} = \frac{AE}{AD}.
\]

Theo tính đồng dạng, ta thấy:

\[
\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AD}.
\]

Do đó, từ bất đẳng thức trên, ta có:

\[
\triangle ABD \sim \triangle ACE.
\]

### b) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.

Từ trong tam giác ABD và ACE, ta đã biết:

\[
AD/AB = 1/3.
\]

Đồng thời, từ các thông số đã cho:

\[
\frac{AE}{AC} = AD.
\]

Cạnh tương ứng của các tam giác là:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{1/3} {1} = \frac{1}{3}, \quad \text{ và }\quad \frac{DE}{BC} = \frac{x}{y}.
\]

Như vậy, chúng ta có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}.
\]

Từ đó suy ra hai tam giác này cũng có độ dài cạnh tương ứng thỏa mãn tỉ lệ, nghĩa là:

\[
\triangle ADE \sim \triangle ABC.
\]

### c) Chứng minh ID . IB = IE . IC.

Gọi \( I \) là giao điểm của hai đường thẳng \( BD \) và \( CE \).

Theo tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có được tỉ lệ:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \quad và \quad \frac{AE}{AC} = \frac{ID}{IB}.
\]

Từ hình chiếu và tỉ lệ trên, ta có thể thiết lập các tỉ số:

\[
\frac{ID}{IB} = \frac{AD}{DB} \\
\frac{IE}{IC} = \frac{AE}{EC}.
\]

Do đó, áp dụng định lý Thales:

\[
\frac{ID}{IB} = \frac{IE}{IC}.
\]

Với ID, IB và IE, IC theo tỉ lệ giống nhau, dẫn đến kết luận:

\[
ID \cdot IB = IE \cdot IC.
\]

Từ đó, ta đã chứng minh được yêu cầu c).

### Kết luận:
Ta đã hoàn thành các mục a), b), và c) một cách có hệ thống và rõ ràng. Các kết luận về đồng dạng và tỉ lệ đã được thiết lập.