Để tìm tiệm cận của hàm số \( y = \frac{mx + 1}{x + m} \), chúng ta sẽ xác định tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

### 1. Tiệm cận đứng
Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của hàm số bằng 0 mà tử số không bằng 0.

Xét mẫu số \( x + m = 0 \):
\[
x + m = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -m
\]

Do đó, \( x = -m \) là tiệm cận đứng nếu \( m \neq 0 \).

### 2. Tiệm cận ngang
Để tìm tiệm cận ngang, ta xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến ra vô cùng:
\[
\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{mx + 1}{x + m}
\]

Chia cả tử và mẫu cho \( x \):
\[
y = \frac{m + \frac{1}{x}}{1 + \frac{m}{x}}
\]

Khi \( x \to \infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \) và \( \frac{m}{x} \to 0 \). Do đó:
\[
\lim_{x \to \infty} y = \frac{m + 0}{1 + 0} = m
\]

Phân tích tương tự với \( x \) tiến ra âm vô cùng:
\[
\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{mx + 1}{x + m} = \frac{m + 0}{1 + 0} = m
\]

### Kết luận
- Tiệm cận đứng: \( x = -m \) (với \( m \neq 0 \)).
- Tiệm cận ngang: \( y = m \).

Vậy hàm số \( y = \frac{mx + 1}{x + m} \) có tiệm cận đứng tại \( x = -m \) và tiệm cận ngang tại \( y = m \).