Tam giác ABC có AB=5, BC=7, AC=8, đường phân giác AD, tính AD?

Để tính độ dài của đường phân giác \( AD \) trong tam giác \( ABC \) với các cạnh \( AB = c = 5 \), \( BC = a = 7 \), và \( AC = b = 8 \), ta có thể sử dụng công thức tính độ dài đường phân giác. Công thức cụ thể như sau:

\[
AD = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)
\]

Trong đó:
- \( A \) là góc ở đỉnh \( A \),
- \( b = AC \),
- \( c = AB \).

Đầu tiên, ta cần tính góc \( A \) bằng cách sử dụng định lý Cosine:

\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)
\]

Thay thông số vào:

\[
7^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(A)
\]

Tính giá trị từng bên:

\[
49 = 64 + 25 - 80 \cdot \cos(A)
\]

Tính tổng bên phải:

\[
49 = 89 - 80 \cdot \cos(A)
\]

Giải phương trình:

\[
80 \cdot \cos(A) = 89 - 49
\]
\[
80 \cdot \cos(A) = 40
\]
\[
\cos(A) = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}
\]

Do đó, \( A = 60^\circ \).

Tiếp theo, ta sẽ tìm cosin của góc \( \frac{A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \):

\[
\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Bây giờ ta có thể tính độ dài của đường phân giác \( AD \):

\[
AD = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)
\]

Thay các giá trị \( b \) và \( c \):

\[
AD = \frac{2 \cdot 8 \cdot 5}{8 + 5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Tính \( b + c \):

\[
b + c = 8 + 5 = 13
\]

Giá trị \( AD \):

\[
AD = \frac{80}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{40\sqrt{3}}{13}
\]

Vậy độ dài của đường phân giác \( AD \) là:

\[
AD = \frac{40\sqrt{3}}{13} \approx 5.48 \text{ (xấp xỉ)}
\]

Hy vọng lời giải này hữu ích!