Để chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành và các đường thẳng AC, BD, EF, HG đồng quy, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành

1. Theo đề bài, ta có tứ giác ABCD là hình bình hành. Ta có:
- AB || CD và AD || BC.
- Theo định nghĩa hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

2. Ta chọn điểm E trên cạnh AB sao cho AE = AF trên cạnh CD. Tương tự, điểm H trên cạnh AD sao cho AH = CG trên cạnh CB. Điều này có nghĩa rằng:
- EF và HG có cùng chiều dài, vì AE = AF và AH = CG.

3. Từ đó:
- EF || HG (do AB || CD và điểm F trên CD, điểm E trên AB).
- EH || FG (do AH = CG từ định nghĩa).

Vì EF // HG và EH // FG, mà lại có độ dài các cặp cạnh đối diện bằng nhau (AE = AF và AH = CG), nên tứ giác EGFH là hình bình hành.

### b) Chứng minh các đường thẳng AC, BD, EF, HG đồng quy

1. Trong tứ giác EGFH mà chúng ta đã chứng minh trước đó, ta biết rằng EF // HG và EH // FG, vì vậy có thể áp dụng định lý về giao điểm của các đường thẳng đồng quy.

2. Theo định lý "Hai đường thẳng song song cắt hai đường thẳng khác nhau" (hoặc định lý Menelaus), ta có thể xác định mối liên hệ giữa các điểm E, F, G, H và các điểm A, B, C, D.

3. Do đó, ta có thể kết luận rằng các đường AC, BD đang cắt nhau tại một điểm trong khi EF // HG và EH // FG, dẫn đến việc các đường thẳng AC, BD, EF, HG đồng quy.

### Kết luận

- Tứ giác EGFH là hình bình hành.
- Các đường thẳng AC, BD, EF, HG đồng quy.

Như vậy, điều đã chứng minh cho cả hai yêu cầu trong bài toán.