Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm một số có ba chữ số \( xyz \) (với \( x, y, z \) lần lượt là hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị).

### Phân tích đề bài:
1. Số có ba chữ số \( xyz \).
2. Nếu viết thêm chữ số \( 5 \) vào bên trái số này, ta có số mới là \( 5xyz \).
3. Tổng của số mới và số nguyên ban đầu là \( 5xyz + xyz = 6xyz \).
4. Số cần tìm có tổng các chữ số bằng \( 5 + 4 + 7 + 8 = 24 \).

### Cách tìm số:
Giả sử số ban đầu là \( xyz \), ta có:
- Hàng trăm: \( x \)
- Hàng chục: \( y \)
- Hàng đơn vị: \( z \)

Theo bài, tổng của các chữ số \( x + y + z = 24 \).

Từ đó, chúng ta sẽ thử xét các giá trị để tìm ra số phù hợp:

#### Các bước thử:
- Số có ba chữ số nên \( x \) có thể là từ 1 đến 9.
- \( y \) và \( z \) từ 0 đến 9.

Thử các khả năng cho \( x + y + z = 24 \):

1. Nếu \( x = 9 \):
- \( y + z = 15 \) (không khả thi vì \( y, z \) đều phải nhỏ hơn 10).
2. Nếu \( x = 8 \):
- \( y + z = 16 \) (không khả thi).
3. Nếu \( x = 7 \):
- \( y + z = 17 \) (không khả thi).
4. Nếu \( x = 6 \):
- \( y + z = 18 \) (không khả thi).
5. Nếu \( x = 5 \):
- \( y + z = 19 \) (không khả thi).
6. Nếu \( x = 4 \):
- \( y + z = 20 \) (không khả thi).
7. Nếu \( x = 3 \):
- \( y + z = 21 \) (không khả thi).
8. Nếu \( x = 2 \):
- \( y + z = 22 \) (không khả thi).
9. Nếu \( x = 1 \):
- \( y + z = 23 \) (không khả thi).

Kết luận, không có số nào trong khoảng ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 24.

**Do đó, không tìm thấy số nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán.**