Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( G(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) \), trước tiên ta có thể phân tích hàm số này.

Hàm \( G(x) \) là một đa thức bậc 4. Ta có thể viết lại \( G(x) \):

\[
G(x) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x
\]

Tìm GTLN hay GTNN của \( G(x) \) trên tập số thực, ta sẽ cần tìm điểm cực trị của hàm số này bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

1. Tính đạo hàm:

\[
G'(x) = 4x^3 + 18x^2 + 22x + 6
\]

2. Giải phương trình \( G'(x) = 0 \):

Phương trình bậc 3 này có thể có hai hoặc ba nghiệm thực. Việc giải phương trình này có thể cần sử dụng các phương pháp số hoặc sử dụng máy tính để tìm nghiệm.

3. Sau khi tìm được các nghiệm \( x_1, x_2, x_3 \), ta cần tính giá trị của \( G(x) \) tại các nghiệm ấy và cũng cần xem xét giá trị của \( G(x) \) tại biên của miền xác định.

4. So sánh các giá trị \( G(x_1), G(x_2), G(x_3) \) và giá trị tại biên (nếu miền là giới hạn), chúng ta sẽ xác định được GTLN và GTNN của hàm \( G(x) \).

Ngoài ra, do tính chất của hàm số có thể có GTNN tại xác định tại các giá trị nhỏ của \( x \) (ví dụ \( x = 0 \)) và GTLN có thể không có nếu \( x \to \infty \).

Tóm lại, bạn có thể sử dụng quy trình trên để tìm giá trị cực trị của hàm \( G(x) \) hoặc sử dụng phần mềm để tính toán nếu cần thiết.