Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các phân tích và chứng minh như sau:

### a) Tứ giác APHQ là hình gì?

Tứ giác \( APHQ \) là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
- \( AH \) là đường cao hạ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \), nên \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- \( P \) và \( Q \) lần lượt là hình chiếu của \( H \) xuống \( AB \) và \( AC \), do đó đường thẳng \( PH \) vuông góc với \( AB \) và đường thẳng \( QH \) vuông góc với \( AC \).
- Vì vậy, ta có \( \angle APH = \angle AQH = 90^\circ \).
- Do đó, tứ giác \( APHQ \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( \Delta KQH \) là tam giác cân

**Chứng minh:**
- \( I \) là trung điểm của \( HB \) và \( K \) là trung điểm của \( HC \), nên \( HI = IB \) và \( HK = KC \).
- \( QH \) là hình chiếu của \( H \) xuống \( AC \), nên \( QH \) vuông góc với \( AC \).
- Như vậy, \( HQ = HQ \) và \( KQ = KH \), do đó ta có \( \Delta KQH \) là tam giác cân tại \( H \).

### c) Chứng minh \( KQP = 90^\circ \) và \( PI \parallel QK \)

**Chứng minh:**
- Đầu tiên, \( KQP \) là tam giác có \( KQ \) vuông góc với \( QP \) vì \( QH \) vuông góc với \( AC \) và \( K \) nằm trên đường vuông góc với \( AC \).
- Do đó, \( \angle KQP = 90^\circ \).
- Một điều nữa là từ tính chất của trung điểm và hình chiếu, ta có \( PI \parallel QK \) vì đường thẳng \( PI \) đi qua trung điểm và vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác chữ nhật.

Tóm lại, các chứng minh trên xác nhận các đặc điểm hình học của tứ giác và các tam giác trong bài toán cho.