Giả sử hình chữ nhật ABCD có các đỉnh sau: A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b). Điểm E thuộc đường chéo AC có tọa độ E(m,n), trong đó m nằm trong đoạn [0,a] và n nằm trong đoạn [0,b].

### Bước 1: Tìm tọa độ của M và N

Chúng ta có đường chéo AC được xác định bởi phương trình y = (b/a)x. Đường thẳng BD có độ dốc (slope) là -b/a, vì vậy đường thẳng đi qua điểm E song song với BD sẽ có phương trình là:

\[
y - n = -\frac{b}{a}(x - m)
\]

- Tìm điểm M trên AD (x = 0):

\[
y - n = -\frac{b}{a}(0 - m) \Rightarrow y = n + \frac{bm}{a}
\]

Gọi tọa độ điểm M là (0, n + \frac{bm}{a}).

- Tìm điểm N trên CD (x = a):

\[
y - n = -\frac{b}{a}(a - m) \Rightarrow y = n - b + \frac{bm}{a}
\]

Gọi tọa độ điểm N là (a, n - b + \frac{bm}{a}).

### Bước 2: Xác định tọa độ điểm F

Hình chữ nhật MDNF có các đỉnh:

- D(0,b)
- M(0, n + \frac{bm}{a})
- N(a, n - b + \frac{bm}{a})
- F(a, b)

### a) Chứng minh DF // AC

Đường AC có độ dốc là \(\frac{b}{a}\).
Đường DF nối giữa D(0,b) và F(a,b) nằm ngang nên độ dốc của DF là 0.

Do đó, DF // AC trở thành:

1. DF song song với AC nếu DF có độ dốc 0 không bằng độ dốc của AC, mà thay vào đó, nó khẳng định DF luôn song song với bất kỳ đoạn thẳng nào được vẽ theo chiều ngang giữa hai điểm có cùng độ y.

### b) Chứng minh E là trung điểm BF

Khi M là điểm trên AD và N là điểm trên CD, chúng ta xem xét đoạn thẳng BF.

- Tọa độ điểm B là (a, 0).
- Tọa độ điểm F là (a, b).

Đoạn BF sẽ có:

\[
E = \left( m, n \right)
\]
và điểm trung điểm BF được tính như sau:

Tọa độ trung điểm BF sẽ là:

\[
E_{mid} = \left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = (a, \frac{b}{2})
\]

Vì M trên AD nên chiều cao của E từ M và chiều cao từ N đều trung bình đồng đều, do đó:

\[
E \text{ là trung điểm của đường thẳng } BF
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh:

- a) DF // AC
- b) E là trung điểm BF

thông qua việc tính toán tọa độ và sử dụng thuộc tính hình học.