Tính tổng sau

Để giải các bài toán trong hình, ta cần biết về hệ số nhị thức và tính chất của chúng. Dưới đây là cách giải cho từng câu hỏi:

### Câu 7:
Tính tổng \( S = C_{20}^0 + 2C_{20}^1 + 2^2 C_{20}^2 + \ldots + 2^{20} C_{20}^{20} \).

Đây chính là định lý nhị thức:
\[
S = (1 + 2)^{20} = 3^{20}.
\]

### Câu 8:
Tính tổng \( S = C_{20}^0 + C_{20}^2 + C_{20}^4 + \ldots + C_{20}^{20} \).

Sử dụng công thức tổng chung:
\[
S = \frac{(1 + 1)^{20} + (1 - 1)^{20}}{2} = \frac{2^{20} + 0}{2} = 2^{19}.
\]

### Câu 9:
Tính tổng \( S = C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + C_{2019}^4 + \ldots + C_{2019}^{20} \).

Sử dụng công thức tổng:
\[
S = 2^{2019} - C_{2019}^0 - C_{2019}^1,
\]
vì \( 2^{2019} = \sum_{k=0}^{2019} C_{2019}^k \).

### Câu 10:
Tính tổng \( S = C_{2021}^0 - C_{2021}^1 + C_{2021}^2 - C_{2021}^3 + C_{2021}^4 + \ldots + C_{2021}^{20} \).

Áp dụng định lý nhị thức:
\[
S = (1 - 1)^{2021} = 0.
\]

### Câu 11:
Cho \( n \in \mathbb{N} \), tính tổng \( S = 2^2 C_n^2 - 2^2 C_n^1 + 2 C_n^0 \).

Sắp xếp lại:
\[
S = C_n^0 + ( C_n^2 - C_n^1).
\]

Sử dụng các định lý nhị thức theo quy luật:
\[
= C_n^0 + 0 = 1.
\]

### Câu 12:
Cho n là số tự nhiên. Hãy tính tổng sau:
\[
S = C_{n+1}^0 + C_{n+1}^1 + C_{n+1}^2 + \ldots + C_{n+1}^n.
\]

Dễ dàng thấy:
\[
S = 2^{n+1} - C_{n+1}^{n+1} = 2^{n+1} - 1.
\]

### Câu 13:
Cho n là số tự nhiên. Thu gọn biểu thức
\[
S = 3 C_n^0 + 7 C_n^1 + 11 C_n^2 + \ldots + (4n + 3) C_n^n.
\]

Dễ dàng tính:
\[
S = 4 \sum_{k=0}^n k C_n^k + 3 \sum_{k=0}^n C_n^k = 4n 2^{n-1} + 3 2^n = 3 \cdot 2^n + 4n \cdot 2^{n-1}.
\]

### Câu 14:
Rút gọn biểu thức
\[
S = \frac{1}{1! \cdot 2019!} + \frac{1}{2! \cdot 2018!} + \frac{1}{3! \cdot 2017!} + \ldots + \frac{1}{2020! \cdot 1!}.
\]

Có thể thấy rằng
\[
S = \frac{1}{2020!} \sum_{k=0}^{2020} \frac{1}{k!}.
\]

Tổng cuối cùng sẽ là \( e - 1 \).

Trên đây là các hướng dẫn giải cho từng câu hỏi trong bài. Nếu cần thêm chi tiết cho từng bước, hãy cho tôi biết!