Để chứng minh rằng nếu \( a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \) và \( a, b, c, d \) là các số dương thì \( a = b = c = d \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình hình học).

1. **Sử dụng bất đẳng thức AM-GM**:
Theo bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương \( a^4, b^4, c^4, d^4 \), ta có:

\[
\frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \geq \sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4} = abcd
\]

Khi đó, ta nhân cả hai vế với 4:

\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geq 4abcd
\]

2. **So sánh với điều kiện**:
Căn cứ vào điều kiện \( a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \), ta có:

\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \geq 4abcd
\]
và

\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd
\]

Vậy từ đây ta suy ra rằng:

\[
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd \implies a^4 = b^4 = c^4 = d^4
\]

3. **Kết luận**:
Từ \( a^4 = b^4 = c^4 = d^4 \) và vì \( a, b, c, d \) là các số dương, ta suy ra \( a = b = c = d \).

Vậy chúng ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.