Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học.

### a) Tính DE biết BC = 30 và AM = 10.

1. **Sử dụng tính chất của đường trung tuyến**:
Đường trung tuyến AM chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau. Vì BC = 30 nên mỗi đoạn sẽ là \( \frac{BC}{2} = 15 \).

2. **Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn**:
Theo đặc điểm của đường phân giác, ta có tỉ lệ đoạn:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MC} = \frac{10}{10} = 1 \quad \text{(vì AM là trung tuyến)}.
\]
Vậy \( AD = DB = 15 \) nên \( AB = 30 \).

3. **Sử dụng tỷ lệ kéo dài**:
Từ tính chất \( DE \parallel BC \), mà \( DE = k \cdot BC \) với \( k \) là hệ số tỉ lệ, với \( AM \) là khoảng cách từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \). Do \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( DE \), \( I \) chia \( AM \) thành tỉ lệ tương ứng.

Đặt \( DI = IE = x \). Theo giả thiết trong đề bài là \( DI = IE \). Từ đó ta có \( DE = DI + IE = 2x \).

4. Lại theo tỉ lệ, ta có \( \frac{DE}{BC} = \frac{MD}{AM} \) và \( \frac{DE}{30} = \frac{x}{10} \).
Suy ra \( DE = 30 \cdot \frac{x}{10} = 3x \), từ đó ta có:
\[
2x = 3k \rightarrow k = \frac{2}{3}.
\]

5. Thay k vào DE cho ta:
\[
DE = BC \cdot k = 30 \cdot \frac{2}{3} = 20.
\]

### Kết quả:
\[
DE = 20.
\]

### b) Chứng minh tam giác ABC cân nếu \( MD = ME \).

1. **Giả thiết**: \( MD = ME \) là giả thiết cho chúng ta tính cân.

2. **Sử dụng tính chất của các đường phân giác**:
Vì \( D \) là điểm trên \( AB \) và \( E \) là điểm trên \( AC \), với \( \frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MC} = 1 \) và vì \( DE \parallel BC \).

3. **Tam giác cân**: Để chứng minh tam giác \( ABC \) cân, ta cần chứng minh cả hai phần \( AD \) và \( AE \) là bằng nhau.

4. Từ \( MD = ME \), ta suy ra rằng đường phân giác ở \( A \) chia đều cạnh \( BC \), do đó \( \frac{AB}{AC} = 1 \) dẫn đến \( AB = AC \).

5. Do đó ta kết luận:
\[
\text{Tam giác } ABC \text{ là tam giác cân.}
\]

### Kết luận:
Tam giác \( ABC \) sẽ là tam giác cân nếu biết \( MD = ME \).