Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu của đề bài.

### a) Chứng minh \( HA = HB \), \( OA = OB \).

1. **Xét tứ giác \( OAHB \)**:
- Vì \( OH \) vuông góc với cả \( OA \) và \( OB \) tại H (điều này rõ ràng từ cách đặt điểm H), nên \( HA \) và \( HB \) là các cạnh của hai tam giác vuông \( OAH \) và \( OBH \).
- Do đó, theo định nghĩa của phân giác, ta có \( \angle OAH = \angle OBH \).
- Vậy nên, tam giác \( OAH \) và tam giác \( OBH \) vuông tại H có góc tương ứng mà bằng nhau. Do đó, từ góc vuông là đáy, suy ra \( HA = HB \).

2. **Chứng minh \( OA = OB \)**:
- Từ \( \angle mOn = 100^\circ \) chia đôi bởi tia Ox, ta có \( \angle AOB = 50^\circ \) (góc ở tâm).
- Với \( HA = HB \), và \( OA, OB \) cũng đều là các cạnh của tam giác \( OAB \). Ta có \( OA = OB \) bằng tính chất cạnh và góc kề trong tam giác cân.

### b) Tính số đo các góc của tam giác \( OAB \).

Tam giác \( OAB \) có:

- \( \angle AOB = 50^\circ \) (góc ở tâm).
- \( \angle OAH = \angle OBH \) theo kết quả ở phần a).
- Ta có:
\[
\angle OAH + \angle OBH + \angle AOB = 180^\circ
\]
\[
2 \angle OAH + 50^\circ = 180^\circ \implies 2 \angle OAH = 130^\circ \implies \angle OAH = 65^\circ
\]
Tương tự cho \( \angle OBH \):
- Vậy góc \( \angle OAB = \angle OAH = 65^\circ \) và \( \angle OBA = 65^\circ \).

### c) Trên tia \( Ox \) lấy điểm \( C \) sao cho \( \angle HBC = 60^\circ \). Chứng minh tam giác \( ABC \) đều.

Tam giác \( ABC \) là tam giác với các cạnh đều khi mà:

- \( \angle HBC = 60^\circ \)
- Sử dụng tổng ba góc của tam giác \( ABC \), ta có:
\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAH = 180^\circ
\]
- Từ đó, \( \angle ACB = \angle AOB + \angle HBC \).
- Vậy \( \angle ACB = 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ \).

Kết hợp các góc lại cho thấy tất cả đều bằng nhau, từ đó xác nhận rằng \( AB = BC = CA \).

### d) Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( E \) sao cho \( BE = BO \). Chứng minh \( AB = OE \).

1. Từ \( BE = BO \), suy ra tam giác \( ABE \) có hai cạnh bằng nhau.
2. Ta chứng minh được \( AB = BO\) từ các cạnh tương ứng trong tam giác ABC.
3. Vậy với tính chất đối xứng, từ điểm \( E \), ta có \( AB = OE \).

Tóm lại, tất cả các yêu cầu của đề bài đã được chứng minh xong.