Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu theo từng phần:

### a) Tính số đo \(\angle ACB\)
Trong tam giác vuông \(ABC\), có \(\angle A = 90^\circ\) và \(\angle B = 50^\circ\). Ta cần tính \(\angle C\):

\[
\angle ACB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ
\]

### b) Chứng minh \(\triangle ABC = \triangle CDA\) và \(AD \parallel BC\)

1. **Chứng minh \(\triangle ABC = \triangle CDA\)**:
- \(\angle A = \angle C = 90^\circ\) (cùng là góc vuông)
- \(\angle B = 50^\circ\) (giả thiết)
- \(\angle D\) (góc đối đỉnh với \(\angle B\)) cũng sẽ bằng \(50^\circ\).

Do đó, ta có \(\triangle ABC\) giống \(\triangle CDA\) theo tiêu chí góc-góc-góc (góc-góc-góc).

2. **Chứng minh \(AD \parallel BC\)**:
- Vì \(\angle CDA + \angle ABC = 180^\circ\) (góc ngoài),
- Nên \(AD \parallel BC\).

### c) Kẻ \(AH \perp BC\) và \(CK \perp AD\) (với \(K \in AD\)). Chứng minh \(BH = DK\).

- Với \(AH\) vuông góc với \(BC\), và \(CK\) vuông góc với \(AD\):
- Hai đoạn thẳng này sẽ tạo thành các góc vuông tại các điểm \(H\) và \(K\).

- Ta có rằng:
- \(\triangle AHB \sim \triangle CKD\) (theo tiêu chí góc-góc).
- Do đó, ta có các tỉ lệ tương ứng và suy ra được \(BH = DK\).

### d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\). Chứng minh ba điểm \(H, I, K\) thẳng hàng và 3 đường thẳng \(AC, HK, BD\) gặp nhau ở \(I\).

- Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\), ta có:
- \(HI\) và \(IK\) là các đoạn thẳng.

- Theo tính chất của tam giác, bất kỳ trung điểm nào cũng sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa các điểm vuông góc với cạnh bên.

Kết hợp lại ta có:
- Ba điểm \(H, I, K\) nằm trên cùng một đường thẳng, tức là \(HK\) sẽ cùng nằm trên đường thẳng với \(AC\) và đi qua \(BD\) tại điểm \(I\).

Như vậy, ta đã chứng minh tất cả các yêu cầu trong bài toán.