Để rút gọn biểu thức \( M \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước a: Rút gọn biểu thức \( M \)

Biểu thức đã cho là:

\[
M = \left( \frac{x}{x-1} + \frac{3}{x+1} + \frac{6x-4}{1-x^2} \right) \left( 1 - \frac{2}{x+3} \right)
\]

1. **Rút gọn phần tử bên trong dấu ngoặc đầu tiên:**

* Phân tích \( 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) \).
* Ta sẽ phân tích từng phân số và tạo mẫu số chung cho các phân số bên trong.

Gọi \( D = (x-1)(x+1)(1-x^2) \) là mẫu số chung của ba phân số.

- Biểu thức đầu tiên:
\[
\frac{x(x+1)(1-x^2) + 3(x-1)(1-x^2) + (6x-4)(x-1)(x+1)}{D}
\]

Tính phần tử phía trên, hợp nhất lại các nhân tử.

2. **Sau khi rút gọn phần tử bên trong, ta sẽ tiếp tục với phần tử bên ngoài:**

\[
1 - \frac{2}{x+3} = \frac{x + 3 - 2}{x + 3} = \frac{x + 1}{x + 3}
\]

3. **Cuối cùng, nhân hai phần với nhau để thu được biểu thức rút gọn hoàn chỉnh.**

### Bước b: Tính \( M \) khi \( x = \frac{2}{3} \)

Thay giá trị \( x = \frac{2}{3} \) vào biểu thức đã rút gọn. Tính toán từng phần với giá trị \( x = \frac{2}{3} \) để tìm giá trị của \( M \).

### Bước c: Tìm giá trị \( x \) để \( M = -\frac{3}{4} \)

Đặt \( M = -\frac{3}{4} \) và giải phương trình để tìm giá trị \( x \).

### Bước d: Tìm giá trị nguyên của \( x \)

Thực hiện theo bước c và kiểm tra các giá trị nguyên có thể nhận được từ phương trình đã thiết lập.

---

Hãy thực hiện các phép toán và rút gọn một cách chi tiết để có kết quả chính xác cho từng yêu cầu.