Dưới đây là giải quyết các phương trình đã cho:

### Câu 7: Giải các phương trình sau:

#### a) \( \cot(x + 30^\circ) = \cot\left(\frac{x}{2}\right) \)

Áp dụng tính chất của cotang, ta có:

\[
x + 30^\circ = \frac{x}{2} + k \cdot 180^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải phương trình trên:

\[
x - \frac{x}{2} = k \cdot 180^\circ - 30^\circ
\]
\[
\frac{x}{2} = k \cdot 180^\circ - 30^\circ
\]
\[
x = 2(k \cdot 180^\circ - 30^\circ)
\]

#### b) \( \tan 3x + \tan x = 0 \)

Áp dụng tính chất của tang:

\[
\tan 3x = -\tan x
\]

Sử dụng công thức tang của tổng:

\[
\frac{\tan 3x + \tan x}{1 - \tan 3x \tan x} = 0 \Rightarrow \tan 3x + \tan x = 0
\]

Giải phương trình trên.

### Câu 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

#### a) \( \sin 3x = 2m + 1 \)

Để có nghiệm, ta có điều kiện:

\[
-1 \leq 2m + 1 \leq 1
\]
\[
-1 \leq 2m \leq 0 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq m \leq 0
\]

#### b) \( 2\cos x = m^2 + 1 \)

Điều kiện cho cosine:

\[
-1 \leq 2\cos x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq m^2 \leq 1
\]

Vì \( m^2 \geq 0 \):

\[
0 \leq m^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq m \leq 1
\]

#### c) \( \tan x = \frac{m-1}{m^2-3m+2} \)

Để phương trình có nghiệm, mẫu không được bằng 0:

\[
m^2 - 3m + 2 \neq 0 \Rightarrow (m-1)(m-2) \neq 0
\]

Do đó \( m \neq 1 \) và \( m \neq 2 \).

#### d) \( \cot x = -\sqrt{1 - m^2} \)

Điều kiện cho cotang:

\[
-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \quad (x \in \mathbb{R})
\]
Điều kiện cho \( m \):

\[
-\sqrt{1 - m^2} \text{ có nghiệm } \Rightarrow m \in [0, 1]
\]

### Câu 9: Tìm m để phương trình \( \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = m \) có nghiệm \( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \)

Điều kiện cho hàm sin:

\[
-\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}
\]

Tóm lại, các điều kiện cho từng phương trình được giải theo từng bước như trên.