Để hàm \( g(x) \) có nghĩa với mọi \( x \in [0; 1] \), ta cần xem xét từng thành phần trong biểu thức

\[
g(x) = \sqrt{2x - 3m + 4} + \frac{x - m}{x + m - 1}.
\]

1. **Xét điều kiện của căn bậc hai**:

Hàm dưới căn phải không âm, tức là:

\[
2x - 3m + 4 \geq 0.
\]

Với \( x \in [0; 1] \):

- Khi \( x = 0 \):
\[
4 - 3m \geq 0 \implies m \leq \frac{4}{3}.
\]

- Khi \( x = 1 \):
\[
2 - 3m + 4 \geq 0 \implies 6 - 3m \geq 0 \implies m \leq 2.
\]

Từ đó, ta có điều kiện cho \( m \):

\[
m \leq \frac{4}{3}.
\]

2. **Xét điều kiện phân số**:

Phân số \(\frac{x - m}{x + m - 1}\) xác định nếu tử số và mẫu số khác 0.

- Mẫu số \( x + m - 1 \neq 0 \):
\[
x + m - 1 \neq 0 \implies m \neq 1 - x.
\]
Với \( x \in [0; 1] \), ta có hai trường hợp cần xét:
- Khi \( x = 0 \): \( m \neq 1 \).
- Khi \( x = 1 \): \( m \neq 0 \).

Vậy ta có thêm điều kiện:

- \( m \neq 1 \)
- \( m \neq 0 \)

Tóm lại, các điều kiện để hàm \( g(x) \) có nghĩa với mọi \( x \in [0; 1] \) là:

\[
m \leq \frac{4}{3}, \quad m \neq 0, \quad m \neq 1.
\]

Vậy ta có thể chọn \( m \) trong khoảng: \( m \in \left(-\infty, \frac{4}{3}\right] \) nhưng không bằng 0 và 1.