Để rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{x+1}{x-2} - \frac{2x}{x+2} + \frac{2 + 5x}{4 - x^2}
\]

Trước tiên, ta sẽ viết lại \( 4 - x^2 \) như sau:

\[
4 - x^2 = (2-x)(2+x)
\]

Và biểu thức \( P \) giờ sẽ là:

\[
P = \frac{x+1}{x-2} - \frac{2x}{x+2} + \frac{2 + 5x}{(2-x)(2+x)}
\]

Bây giờ, để rút gọn, ta cần tìm mẫu số chung cho tất cả các phân thức. Mẫu số chung sẽ là:

\[
(x-2)(x+2)(2-x)(2+x)
\]

Bằng cách nhân các phân thức với mẫu số phù hợp, ta sẽ có:

1. Biểu thức đầu tiên:

\[
\frac{(x+1)(x+2)(2-x)(2+x)}{(x-2)(x+2)(2-x)(2+x)}
\]

2. Biểu thức thứ hai:

\[
-\frac{2x(x-2)(2-x)(2+x)}{(x+2)(x-2)(2-x)(2+x)}
\]

3. Biểu thức thứ ba:

\[
+\frac{(2 + 5x)(x-2)(x+2)}{(2-x)(2+x)(x-2)(x+2)}
\]

Sau khi nhân và cộng các phần tử, ta sẽ rút gọn được biểu thức \( P \).

### Tính P khi \( x = 7 \)

Thay \( x = 7 \) vào \( P \):

1. Tính từng phần:

\[
P = \frac{7+1}{7-2} - \frac{2 \cdot 7}{7+2} + \frac{2 + 5 \cdot 7}{4 - 7^2}
\]
\[
= \frac{8}{5} - \frac{14}{9} + \frac{37}{-45}
\]

2. Tìm mẫu số chung (45) và đổi các phân thức:

\[
= \frac{72}{45} - \frac{70}{45} - \frac{37}{45}
\]
\[
= \frac{72 - 70 - 37}{45} = \frac{-35}{45} = -\frac{7}{9}
\]

Vậy giá trị của \( P \) khi \( x = 7 \) là:

\[
P = -\frac{7}{9}
\]