Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của HB và HA. Kẻ EF vuông góc AD tại F. Chứng minh rằng C, E, F thẳng hàng

Bài 1: Chứng minh C, E, F thẳng hàng.

Gọi O là trung điểm của AC.

Đặt A(0, 0), B(b, 0), C(0, c). Ta có H(0, h) với h = \(\frac{b^2}{c}\).

Khi đó:
- D là trung điểm của HB: \(D\left(\frac{b}{2}, \frac{h}{2}\right)\)
- E là trung điểm của HA: \(E\left(0, \frac{h}{2}\right)\)

Công thức phương trình đường thẳng AD là:

\(y = \frac{h}{\frac{b}{2}}(x - 0) = \frac{2h}{b}x\)

Vì EF vuông góc với AD tại F, nên ta có:

- Đường thẳng EF có hệ số góc bằng \(- \frac{b}{2h}\).

Từ đây, ta có thể tính được tọa độ F.

Cuối cùng, ta xét ba điểm C, E, F:
- Thay tọa độ E, F vào phương trình đường thẳng đi qua C và kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không.

Chúng ta có thể sử dụng định nghĩa và công thức về định thức (hoặc dùng vật lý bằng cách kiểm tra các vectơ) để chứng minh điều này. Cụ thể:

Tính định thức với ba điểm (C, E, F):
\[
\begin{vmatrix}
x_C & y_C & 1 \\
x_E & y_E & 1 \\
x_F & y_F & 1
\end{vmatrix}
= 0
\]
nếu kết quả bằng 0 thì ba điểm C, E, F thẳng hàng.

---

Bài 2: Chứng minh A, E, J thẳng hàng.

Gọi I, K lần lượt là điểm giao của đường phân giác bên B và C đối với các tam giác ABC, ABH, ACH.

Để chứng minh rằng A, E, J thẳng hàng, ta cần tính tọa độ của các điểm E và J.

1. Tính tọa độ của E, I, và K bằng công thức đường phân giác trong tam giác.

2. Xem J là giao điểm của EJ vuông góc với IK, tức là xét điều kiện vuông góc.

3. Sau đó, xét ba điểm A, E, J (tương tự như phương pháp ở bài 1):

\[
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\
x_E & y_E & 1 \\
x_J & y_J & 1
\end{vmatrix}
= 0
\]

Khi có kết quả bằng 0 thì điều đó chứng minh rằng ba điểm A, E, J thẳng hàng.

Bằng cách này, ta có thể kết luận rằng đường thẳng AE đi qua điểm J, chứng minh cho bài tập yêu cầu.