Để chứng minh ΔAMB = ΔANC, ta sẽ sử dụng định nghĩa của tam giác bằng trường hợp cạnh, góc và cạnh (c.g.c).

### Bước 1: Chứng minh hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau.

1. **Cạnh AM = AN**:
M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB, nên \( AM = AN \).

2. **Cạnh AB = AC**:
Giả thiết đã cho rằng \( AB = AC \).

3. **Cạnh MB = NC**:
Vì M và N là trung điểm của các cạnh AC và AB, ta có:
\[
MB = \frac{1}{2} AB \quad \text{và} \quad NC = \frac{1}{2} AC
\]
Nhưng \( AB = AC \) ⇒ \( MB = NC \).

### Bước 2: Chứng minh hai góc tương ứng bằng nhau.

4. **Góc AMB = Góc ANC**:
Do hai tam giác có cạnh AB = AC và chung cạnh giữa góc, hai góc này cũng bằng nhau (góc đối diện cạnh bằng nhau).

### Kết luận:

Từ ba cặp cạnh tương ứng và hai cặp góc tương ứng, ta có:
\[
\Delta AMB \cong \Delta ANC \quad \text{(c.g.c)}
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được \( \Delta AMB = \Delta ANC \).

### Bước 3: Chứng minh BM = CN:

Trong hai tam giác AMB và ANC đã chứng minh, ta có:
- Cạnh AM = AN (đã chứng minh),
- Cạnh MB = NC (đã chứng minh),
- Góc AMB = Góc ANC (đã chứng minh).

Sử dụng định lý tam giác, ta suy ra BM = CN.

Vậy ta có kết quả chứng minh \( BM = CN \).