Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA

Ta có tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là \( AB \perp AC \).

- H là điểm cao từ A xuống BC. Do đó, \( AH \perp BC \).
- D là hình chiếu của H trên AB, tức là \( HD \perp AB \).
- E là hình chiếu của H trên AC, tức là \( HE \perp AC \).

Ta chứng minh đồng dạng bằng cách sử dụng các góc:

- Góc \( HBA = HBC \) (góc điểm H)(theo định nghĩa đường cao).
- Góc \( AHB = 90^\circ \) (vì AH là đường cao).
- Góc \( ACB = 90^\circ \) (vì ABC là tam giác vuông tại A).

Vậy ta có:

\[
\text{Tam giác } HBA \sim \text{tam giác } ABC
\]

### b) Tính \( AB \), \( DE \) khi \( HB = 4 \, \text{cm} \) và \( HC = 9 \, \text{cm} \)

Ở đây, ta có thể tính \( BC \):

\[
BC = HB + HC = 4 \, \text{cm} + 9 \, \text{cm} = 13 \, \text{cm}
\]

Dựa vào tỉ lệ trong tam giác đồng dạng \( HBA \sim ABC \):

\[
\frac{AB}{HB} = \frac{AC}{HC} = \frac{BC}{BA}
\]

Khi đó:

\[
\frac{AB}{4} = \frac{AC}{9} = \frac{BC}{BA}
\]

Gọi \( AB = a \) và \( AC = b \). Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABC \):

\[
a^2 + b^2 = BC^2 = 13^2 = 169
\]

Đặt \( k = \frac{a}{4} = \frac{b}{9} \Rightarrow a = 4k \) và \( b = 9k \).

Thay vào phương trình Pythagore:

\[
(4k)^2 + (9k)^2 = 169
\]
\[
16k^2 + 81k^2 = 169
\]
\[
97k^2 = 169
\]
\[
k^2 = \frac{169}{97} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{169}{97}} = \frac{13}{\sqrt{97}} \Rightarrow k \approx 1.323.
\]

Sau đó:

\[
AB = 4k = \frac{52}{\sqrt{97}} \text{ cm } (\approx 5.306 \text{ cm}),
\]
\[
AC = 9k = \frac{117}{\sqrt{97}} \text{ cm } (\approx 11.693 \text{ cm}).
\]

#### Tính DE:

DE là đoạn thẳng nối hai điểm D và E. Do \( DE \) là hình chiếu của AH trên BC, mà trong một tam giác vuông thì DE có thể tính bằng nguyên lý hình chiếu, ta có:

\[
DE = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Tính \( DE \):

\[
DE = \frac{4 \times 9}{13} = \frac{36}{13} \text{ cm } \approx 2.769 \text{ cm}.
\]

### c) Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \) và \( AM \perp DE \)

1. **Chứng minh \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)**

Xét tam giác HBA và tam giác HCA, ta có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow AD \cdot AC = AE \cdot AB.
\]

2. **Chứng minh \( AM \perp DE \)**

Ta có tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM từ A đến BC sẽ vuông góc với BC. Đồng thời D và E là hình chiếu của H trên AB và AC, nên theo định nghĩa hình chiếu, DE sẽ vuông góc với AM.

Tóm lại, ta có:

- \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \).
- \( AM \perp DE \).

Đến đây, tất cả các yêu cầu đã được giải quyết.