Để phân tích đa thức \( \frac{1}{8} + 27y^3 \) thành nhân tử, chúng ta có thể nhận ra đây là một tổng của hai lập phương.

Cụ thể, \( \frac{1}{8} \) có thể viết lại dưới dạng \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) và \( 27y^3 \) có thể viết lại dưới dạng \( (3y)^3 \).

Vì vậy, đa thức này có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{1}{8} + 27y^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + (3y)^3
\]

Chúng ta áp dụng công thức tổng lập phương:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Trong trường hợp này, \( a = \frac{1}{2} \) và \( b = 3y \).

Áp dụng vào công thức, ta có:

\[
\frac{1}{8} + 27y^3 = \left(\frac{1}{2} + 3y\right) \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot 3y + (3y)^2\right)
\]

Giờ ta tính toán từng phần:

1. \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
2. \( - \frac{1}{2} \cdot 3y = -\frac{3y}{2} \)
3. \( (3y)^2 = 9y^2 \)

Vậy phần còn lại của biểu thức trở thành:

\[
\frac{1}{4} - \frac{3y}{2} + 9y^2
\]

Kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức thành nhân tử là:

\[
\frac{1}{8} + 27y^3 = \left(\frac{1}{2} + 3y\right) \left(\frac{1}{4} - \frac{3y}{2} + 9y^2\right)
\]