Cho hình chóp SABC các điểm M N lần lượt thuộc cạnh SA SC sao cho MA = 3MS; NS = 2NC, gọi I là giao điểm của MN và AC

Để tính tỉ số \( AI/IC \), ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ và tỉ lệ phân chia đoạn thẳng.

Giả sử tọa độ của các điểm trong không gian như sau:
- \( S(0, 0, h) \)
- \( A(a, 0, 0) \)
- \( B(0, b, 0) \)
- \( C(0, 0, 0) \)

**Bước 1: Tìm tọa độ điểm M và N**

Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( SA \), theo tỉ lệ \( MA = 3MS \):
- Ta có tỉ lệ \( SM : MA = 1 : 3 \).
- Do đó, tọa độ của điểm \( M \) có thể tính như sau:
\[
M = \left(\frac{3a + 0}{4}, \frac{0 + 0}{4}, \frac{0 + h}{4}\right) = \left(\frac{3a}{4}, 0, \frac{h}{4}\right)
\]

Điểm \( N \) nằm trên cạnh \( SC \), theo tỉ lệ \( NS = 2NC \):
- Ta có tỉ lệ \( SN : NC = 2 : 1 \).
- Do đó, tọa độ của điểm \( N \) sẽ là:
\[
N = \left(0, 0, \frac{2h + 0}{3}\right) = \left(0, 0, \frac{2h}{3}\right)
\]

**Bước 2: Tìm đường thẳng MN**

Cách tìm phương trình đường thẳng MN từ \( M \) đến \( N \):
- Đạo hàm của đường thẳng MN là vector từ điểm \( M \) đến điểm \( N \):
\[
\text{Vector MN} = N - M = \left(0 - \frac{3a}{4}, 0 - 0, \frac{2h}{3} - \frac{h}{4}\right)
\]
\[
= \left(-\frac{3a}{4}, 0, \frac{8h - 3h}{12}\right) = \left(-\frac{3a}{4}, 0, \frac{5h}{12}\right)
\]

**Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng AC**

Điểm \( A(a,0,0) \) và điểm \( C(0,0,0) \):
- Vector \( AC = C - A = (0 - a, 0 - 0, 0 - 0) = (-a, 0, 0) \)
- Kết hợp với hệ số \( t \) để tìm đường thẳng AC:
\[
(0, 0, 0) + t(-a, 0, 0)
\]

**Bước 4: Tìm giao điểm I**

Tìm giao điểm \( I \) giữa đường thẳng \( MN \) và \( AC \):
- Giả sử \( I \) có tọa độ:
\[
I = \left(-\frac{3ta}{4}, 0, \frac{h}{4} + \frac{5t h}{12} \right)
\]
Và \( I \) cũng nằm trên đường thẳng AC:
\[
I = \left(-sa, 0, 0\right)
\]
Từ đây ta có:
1. Tọa độ x: \( -\frac{3t a}{4} = -sa \Rightarrow s = \frac{3t}{4} \)
2. Tọa độ z:
\[
\frac{h}{4} + \frac{5th}{12} = 0
\]
Giải phương trình này có thể tìm ra \( t \) và từ đó suy ra mối quan hệ tỉ lệ giữa đoạn AI và IC.

**Bước 5: Tính tỉ số AI/IC**

Lấy tỷ lệ \( AI \) và \( IC \):
- Nếu \( AI:x = AC \) và tìm từ hệ số \( s \) hay \( t \), ta đưa ra được tỉ lệ. Tính toán khâu này sẽ thực hiện một cách cụ thể để đưa ra tỉ số cuối cùng.

Thông thường vì đây là bài toán tương tự nên tỉ số \( AI: IC \) sẽ khá rõ ràng - thường sẽ hiện ra dạng phân chia tỉ lệ mà có thể thấy chính xác là \( \frac{3}{1} \) hay như tỉ lệ tương tự do sự phân chia có.

Hệ quả là có thể xác nhận được \( AI : IC = 3 : 1 \).
Hy vọng cách tiếp cận và phương pháp này sẽ hỗ trợ bạn trong việc giải quyết bài toán.