Để xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{f(x) - 2}\), ta cần tìm các giá trị của \(x\) mà tại đó \(f(x) - 2 = 0\).

Đầu tiên, ta tìm hàm số \(f(x)\):
\[
f(x) = \frac{3x - 1}{x - 1}
\]

Bây giờ, chúng ta giải phương trình:
\[
f(x) - 2 = 0 \implies \frac{3x - 1}{x - 1} - 2 = 0
\]
\[
\frac{3x - 1 - 2(x - 1)}{x - 1} = 0
\]
\[
\frac{3x - 1 - 2x + 2}{x - 1} = 0 \implies \frac{x + 1}{x - 1} = 0
\]

Điều này xảy ra khi:
\[
x + 1 = 0 \implies x = -1
\]

V therefore, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{f(x) - 2}\) là \(x = -1\).

Vậy đáp án đúng là:
**C. \(x = -1\)**.