Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và một số định lý liên quan đến tia phân giác.

### a. Chứng minh tam giác ABI cân

1. **Xét tia phân giác góc A**: Theo định nghĩa, tia phân giác chia góc A thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle BAI = \angle DAB
\]

2. **Góc DAB**: Trong hình bình hành, góc DAB và góc ABC có quan hệ với nhau:
\[
\angle DAB = \angle ABC
\]

3. **Góc ABI**: Do I là điểm trên BC và tia AI là phân giác, ta có:
\[
\angle ABI = \angle ABC = \angle DAB
\]

Do đó, từ việc trên chúng ta có:
\[
\angle BAI = \angle ABI
\]

4. Kết luận: Vì trong tam giác ABI có hai góc BAI và ABI bằng nhau, nên tam giác ABI là tam giác cân tại A.

### b. Chứng minh AICK là hình bình hành

Để chứng minh AICK là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. **Xét tia phân giác góc C**: Tia phân giác góc C chia góc C thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle DCA = \angle ACI
\]

2. **Cạnh AD và cạnh AC**:
- Bởi vì ABCD là hình bình hành, ta có \(AD = BC\).
- Do tia CK là phân giác góc C, nên:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{AD}{DC}
\]
nhưng \(AD = DC\), do đó:
\[
AK = KC
\]

3. **Cạnh IA và cạnh IC**:
Tương tự, từ góc ABI ta đã chứng minh rằng I chia BC theo tỉ lệ bằng nhau, có nghĩa là:
\[
\frac{AI}{IB} = \frac{AC}{BC}
\]
và vì \(AB = AD\), nên:
\[
AI = IB
\]

4. **Kết luận**: Như vậy, từ việc AK = KC và AI = IC, ta có AICK là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Vậy là chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.