Để chứng minh bất đẳng thức \(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 > 0\) với mọi \(x, y\), chúng ta có thể xem xét hàm số \(f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4\).

Bước 1: Thay đổi biến
Chúng ta có thể thay đổi biến để đơn giản hóa biểu thức. Đặt \(u = x - 1\) và \(v = y - 1\), khi đó \(x = u + 1\) và \(y = v + 1\). Ta thay vào hàm \(f\):

\[
f(u, v) = (u + 1)^2 + (u + 1)(v + 1) + (v + 1)^2 - 2(u + 1) - 2(v + 1) + 4
\]

Bước 2: Mở rộng và đơn giản hóa
Mở rộng các biểu thức:

\[
f(u, v) = (u^2 + 2u + 1) + (uv + u + v + 1) + (v^2 + 2v + 1) - 2u - 2 - 2v - 2 + 4
\]

\[
= u^2 + v^2 + uv + 2u + 2v + 3 - 2u - 2v - 2 + 4
\]

\[
= u^2 + v^2 + uv + 5
\]

Bây giờ hàm trở thành:

\[
f(u, v) = u^2 + v^2 + uv + 5
\]

Bước 3: Xem xét \(u^2 + v^2 + uv\)
Khi \(u\) và \(v\) là các số thực, biểu thức \(u^2 + v^2 + uv\) có thể được viết lại như sau:

\[
u^2 + v^2 + uv = \frac{1}{2} \left( (u + v)^2 + u^2 + v^2 \right) = \frac{1}{2} \left( (u^2 + uv + v^2) + (u^2 + v^2) \right) = \frac{3}{4}(u^2 + v^2)
\]

Biểu thức này luôn không âm và đạt giá trị 0 khi \(u = v = 0\), tức là \(u^2 + v^2 + uv \geq 0\).

Bước 4: Kết luận
Vì \(u^2 + v^2 + uv \geq 0\), ta có:

\[
f(u, v) = u^2 + v^2 + uv + 5 \geq 0 + 5 = 5
\]

Do đó, \(f(x, y) \geq 5 > 0\) với mọi \(x, y\).

Kết luận: Bất đẳng thức \(x^2 + xy + y^2 - 2x - 2y + 4 > 0\) đúng với mọi giá trị thực của \(x\) và \(y\).