Để giải bài toán trong không gian với hai câu hỏi đã cho, ta sẽ thực hiện từng câu một.

### Câu 25:

Cho các vector \(\vec{a} = (2; -2; 1)\) và \(\vec{b} = (2; 1; 3)\).

Để tìm vector \(\vec{c}\) sao cho nó vuông góc với cả hai vector \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), ta có thể sử dụng tích có hướng (hay tích vettơ). Tích có hướng của hai vector sẽ cho một vector mới vuông góc với cả hai vector đó.

1. **Tính tích có hướng**:
\[
\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}
\]
Tính toán như sau:
\[
\vec{c} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & -2 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}
\]

Tính theo định thức:
\[
\vec{c} = \hat{i} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}
\]
\[
= \hat{i}((-2) \cdot 3 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(2 \cdot 3 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(2 \cdot 1 - (-2) \cdot 2)
\]
\[
= \hat{i}(-6 - 1) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(2 + 4)
\]
\[
= \hat{i}(-7) - \hat{j}(4) + \hat{k}(6)
\]
Do đó, vector vuông góc \(\vec{c}\) là:
\[
\vec{c} = (-7; -4; 6)
\]

### Câu 26:

Cho hai vector \(\vec{u} = (3; -2; -5)\) và \(\vec{v} = (1; 1; 5)\).

Ta cần tìm vector \(\vec{w}\) sao cho nó vuông góc với cả hai vector \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\).

1. **Tính tích có hướng**:
\[
\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}
\]
Tính toán như sau:
\[
\vec{w} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
3 & -2 & -5 \\
1 & 1 & 5
\end{vmatrix}
\]

Tính theo định thức:
\[
\vec{w} = \hat{i} \begin{vmatrix} -2 & -5 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 3 & -5 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
\]
Tính từng phần:
\[
= \hat{i}((-2) \cdot 5 - (-5) \cdot 1) - \hat{j}(3 \cdot 5 - (-5) \cdot 1) + \hat{k}(3 \cdot 1 - (-2) \cdot 1)
\]
\[
= \hat{i}(-10 + 5) - \hat{j}(15 + 5) + \hat{k}(3 + 2)
\]
\[
= \hat{i}(-5) - \hat{j}(20) + \hat{k}(5)
\]
Do đó, vector vuông góc \(\vec{w}\) là:
\[
\vec{w} = (-5; -20; 5)
\]

### Kết luận:
- Câu 25: Vector vuông góc là \((-7; -4; 6)\).
- Câu 26: Vector vuông góc là \((-5; -20; 5)\).