Để giải bài toán này, ta tiến hành theo từng yêu cầu như sau:

**a)** Xét tứ giác \( ACOD \):

- Từ đề bài, \( H \) là trung điểm của \( OA \). Đoạn thẳng \( HC \) vuông góc với đường tròn \( (O) \) tại \( C \) và \( D \) nên \( AC \perp AB \).
- Do đó, tứ giác \( ACOD \) có \( AC \) và \( OD \) là hai cạnh vuông góc với nhau, và \( AH = OH \) (vì \( H \) là trung điểm của đoạn \( OA \)).
- Tứ giác \( ACOD \) là hình chữ nhật (bởi vì hai cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa song song).

**b)** Về việc qua \( D \) kẻ tiếp tuyến với đường tròn \( (O) \) cắt \( OA \) tại \( M \):

- Vì \( D \) nằm trên đường tròn \( (O) \) nên \( OD \) là bán kính tại \( D \).
- Hơn nữa, nếu \( DM \) là tiếp tuyến, thì theo định nghĩa của tiếp tuyến tại điểm \( D \), ta có \( OD \perp DM \).
- Do đó, tam giác \( AMC \) sẽ đều nếu \( AM = AC = MC \). Ta biết rằng \( AM \) được xác định là đoạn thẳng nối từ \( A \) đến \( M \), còn \( AC \) là một cạnh của hình chữ nhật \( ACOD \).

- Với điều kiện \( MC \) là tiếp tuyến của (O) thì \( MC \) cũng là cạnh của tam giác \( AMC \).

Ta có thể tổng kết lại rằng các đoạn thẳng đều thỏa mãn điều kiện của tam giác đều.

Như vậy, ta đã chứng minh được:

1. Tứ giác \( ACOD \) là hình chữ nhật.
2. Đoạn \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) và tam giác \( AMC \) là tam giác đều.