Chứng minh: AKOI là hình bình hành, R2 = R + R1

Để chứng minh AKOI là hình bình hành và \( R_2 = R + R_1 \), ta sẽ xem xét từng phần một.

### Phần a: CMR AKOI là Hình bình hành

Giả sử:

- \( I \) và \( K \) là tâm của hai đường tròn \( (I; R_1) \) và \( (K; R_2) \) tại các điểm tiếp xúc với đường tròn \( (O; R) \) tại B và C.
- Do đó, ta có:
- \( AB = AI = R_1 \)
- \( AC = AK = R_2 \)

Vì hai đường tròn tiếp xúc tại B và C, nên:
- Đường kính của đường tròn (O; R) đi qua B và C.
- Trong đó, vectơ \( \overrightarrow{OI} \) sẽ có độ dài \( R + R_1 \) và vectơ \( \overrightarrow{OK} \) sẽ có độ dài \( R + R_2 \).

**Chứng minh AKOI là hình bình hành:**

- Vì hai đường tròn đều tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B và C, điểm A ra nên sẽ có:

\[
\angle OAB = \angle OBI \quad \text{(đúng theo định nghĩa)}
\]
\[
\angle OAC = \angle OCK \quad \text{(do sự đối xứng)}
\]

- Do đó, \( \overrightarrow{AI} \) // \( \overrightarrow{KO} \) và \( \overrightarrow{AK} \) // \( \overrightarrow{OI} \).

Từ đó, suy ra:
- \( AK \parallel OI \)
- \( AO \parallel KI \)

Mà nếu \( AK \parallel OI \) và \( AO \parallel KI \) thì \( AKOI \) là hình bình hành.

### Phần b: CMR D thuộc 1 đường tròn cố định

Gọi D là giao điểm của hai đường tròn \( (I; R_1) \) và \( (K; R_2) \).

Ta có:

1. Từ tâm \( I \) đến điểm A, độ dài là \( AI = R_1 \).
2. Từ tâm \( K \) đến điểm A, độ dài là \( AK = R_2 \).

Do đó, theo định lý về khoảng cách giữa hai điểm:

\[
ID = R_1 \quad \text{ và } \quad KD = R_2
\]

Bây giờ, theo hệ thức \( R_2 = R + R_1 \), ta có:

\[
K \text{ cách } D \text{ một khoảng độ dài đúng với công thức trên. }
\]

Kết hợp hai đường tròn này sẽ tạo nên một đường tròn cố định tại một vị trí nào đó.

Vậy D thuộc một đường tròn cố định.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh:

- AKOI là hình bình hành.
- \( R_2 = R + R_1 \).
- D thuộc một đường tròn cố định.

Kết thúc chứng minh!