Để tính biểu thức \( \frac{15}{35} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{8} + \frac{1}{2} : \frac{3}{4} \), ta thực hiện từng bước như sau:

1. **Tính \( \frac{15}{35} \)**:
\[
\frac{15}{35} = \frac{3}{7}
\]

2. **Tính \( \frac{1}{5} \times \frac{4}{8} \)**:
\[
\frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]
Vậy:
\[
\frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}
\]

3. **Tính \( \frac{1}{2} : \frac{3}{4} \)**:
Chia bằng cách nhân với phân số nghịch đảo:
\[
\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
\]

4. **Cộng các kết quả lại**:
Ta có:
\[
\frac{3}{7} + \frac{1}{10} + \frac{2}{3}
\]

Để cộng theo phân số, ta cần tìm mẫu số chung:
- Mẫu số chung của \( 7, 10, 3 \) là \( 210 \).

Chuyển đổi từng phân số:
- \( \frac{3}{7} = \frac{3 \times 30}{7 \times 30} = \frac{90}{210} \)
- \( \frac{1}{10} = \frac{1 \times 21}{10 \times 21} = \frac{21}{210} \)
- \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 70}{3 \times 70} = \frac{140}{210} \)

Cộng các phân số lại:
\[
\frac{90}{210} + \frac{21}{210} + \frac{140}{210} = \frac{251}{210}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{251}{210}
\]
Bạn có thể rút gọn hoặc để dạng phân số như trên.