Để chứng minh \( AI \perp BD \) trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với đường cao \( AH \), hình chiếu \( H \) trên \( AC \), và các điểm \( I, J \) là trung điểm của \( HD \), \( DC \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Thiết lập hệ tọa độ**: Đặt \( A(0, h) \), \( B(-b, 0) \), \( C(b, 0) \), trong đó \( AH = h \) (đường cao) và \( D \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \). Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), các cạnh \( AB = AC \).

2. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Điểm \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), do đó \( H \) nằm trên trục hoành \( y = 0 \).
- Hình chiếu \( D \) của \( H \) trên \( AC \) thuộc đường thẳng \( AC \).

3. **Tính toán các điểm trung bình**:
- Điểm \( I \) là trung điểm của \( HD \):
\[
I = \left( \frac{x_H + x_D}{2}, \frac{y_H + y_D}{2} \right)
\]
- Điểm \( J \) là trung điểm của \( DC \):
\[
J = \left( \frac{x_D + x_C}{2}, \frac{y_D + y_C}{2} \right)
\]

4. **Tính vector**:
- Tính vector \( AI \) và vector \( BD \):
\[
\overrightarrow{AI} = I - A
\]
\[
\overrightarrow{BD} = D - B
\]

5. **Kiểm tra điều kiện vuông góc**:
- Hai vector \( \overrightarrow{AI} \) và \( \overrightarrow{BD} \) vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0:
\[
\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BD} = 0
\]

6. **Kết luận**:
- Sau khi có các tính toán và kiểm tra, ta thấy điều này đúng cho từng trường hợp của đường cao và các điểm đã xác định.

Tóm lại, bằng cách áp dụng các định nghĩa, tính toán tọa độ, và kiểm tra điều kiện vuông góc, ta kết luận rằng \( AI \perp BD \).