Cho tam giác ABC, hai đường phân giác trong góc B,C cắt nhau ở I. Vẽ IH vuông góc với BC. Vẽ ( I;IH ). Chứng minh AB, AC là tiếp tuyến của (I)

Để chứng minh rằng AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (I;IH), ta sẽ thực hiện qua các bước sau:

1. **Thể hiện các đoạn thẳng liên quan**:
- Gọi \( D \) là hình chiếu của điểm \( I \) trên đoạn thẳng \( BC \), vậy \( ID \perp BC \) (theo định nghĩa).
- Gọi \( R \) là bán kính của đường tròn \( (I) \).

2. **Xét tam giác \( AIB \) và \( AIC \)**:
- Do \( I \) là giao điểm của hai đường phân giác \( \angle B \) và \( \angle C \), nên \( \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{IB}{IC} \).
- Từ đó, ta có \( IB \) và \( IC \) là các đoạn thẳng giữa \( I \) và các đỉnh \( B \) và \( C \).

3. **Xét điểm tiếp xúc**:
- Điểm tiếp xúc của đường tròn với đoạn thẳng \( AB \) giả sử là \( E \) và với đoạn thẳng \( AC \) là \( F \). Theo định nghĩa, nếu \( AB \) và \( AC \) là tiếp tuyến thì có:
- \( IE \perp AB \) và \( IF \perp AC \).

4. **Chứng minh sự vuông góc**:
- Do \( ID \perp BC \), và \( D \in BC \), ta dễ dàng thấy rằng \( AE \) sẽ vuông góc với \( ID \) nếu điểm \( E \) là tiếp điểm của đường tròn với \( AB \).
- Tương tự cho đoạn thẳng \( AC \).

5. **Suy ra**:
- Nếu \( IE \perp AB \) và \( IF \perp AC \) thì điều này có nghĩa là \( AB \) và \( AC \) là tiếp tuyến của (I).
- Vì chiều dài đoạn thẳng từ các điểm \( I \) đến các tiếp tuyến sẽ bằng với bán kính của đường tròn tại điểm tiếp xúc.

Từ những lý luận trên, ta kết luận rằng hai đoạn thẳng \( AB \) và \( AC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (I) \) tại các điểm \( E \) và \( F \).