Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### Phần a: Điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^2}
\]
**Điều kiện xác định:**
1. \( x - \sqrt{x} \neq 0 \) hay \( x \neq \sqrt{x} \) (không thể chia cho 0).
2. \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \) hay \( x \neq 1 \) (tương tự).
3. \( x \geq 0 \) (vì có căn bậc 2).

Do đó, điều kiện xác định là \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \).

**Rút gọn biểu thức:**
Ta cần tính \( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \).
Tìm mẫu số chung và cộng hai phân thức này:
\[
A = \left( \frac{\sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)^2}
\]
Sẽ có thể rút gọn tiếp liệu này.

### Phần b: Tìm giá trị của x khi \( A = \frac{1}{3} \)
Thay giá trị \( A \) vào phương trình:
\[
\left( \text{biểu thức rút gọn} \right) = \frac{1}{3}
\]
Giải phương trình tương ứng để tìm giá trị của x.

### Phần c: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = A - 9\sqrt{x} \)
Sau khi tính được \( A \), ta cần tạo một biểu thức \( P \) và sử dụng các công cụ như đạo hàm để tìm cực đại, hoặc nêu rõ liên hệ nào cần thiết để tính giá trị lớn nhất của P.

Bạn có thể tính chi tiết từng bước để hoàn thành bài toán!