Để chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) thuộc cùng một đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của chu vi và tiếp tuyến.

Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) mà \( AB = c \) và \( AC = b \). Gọi \( D \) là điểm trên \( AB \), \( E \) là điểm trên \( AC \).

Tọa độ của các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(c, 0) \)
- \( C(0, b) \)
- \( D(c_1, 0) \) với \( 0 \leq c_1 \leq c \)
- \( E(0, c_2) \) với \( 0 \leq c_2 \leq b \)

Ta tính tọa độ của các điểm trung điểm:
- \( M \), trung điểm của \( DE \):
\[
M\left(\frac{c_1}{2}, \frac{c_2}{2}\right)
\]

- \( N \), trung điểm của \( DC \):
\[
N\left(\frac{c_1 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{c_1}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

- \( P \), trung điểm của \( BC \):
\[
P\left(\frac{c + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

- \( Q \), trung điểm của \( BE \):
\[
Q\left(\frac{c + 0}{2}, \frac{0 + c_2}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{c_2}{2}\right)
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) cùng nằm trên một đường tròn. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng góc \( MPQ \) và góc \( MNQ \) đo qua đường nối \( PQ \) có cùng một góc ở trung điểm.

1. **Tính chất của hình thang**: Chú ý rằng \( P \) và \( Q \) đều nằm trên đường thẳng \( BE \), và \( N, M \) cũng tương ứng với các trung điểm của đoạn thẳng. Theo tính chất hình thang, nếu \( M, N \) là các trung điểm, ta có thể xem rằng:
\[
MN \parallel PQ
\]

2. **Góc bị chắn**: Theo tỉ số giữa các đoạn thẳng và tính chất một số góc, kết nối \( MP \) với đường chéo \( NQ \) sẽ nằm trong các góc đều.

3. **Góc đồng vị**: Điều này dẫn chúng ta đến một phát biểu rằng, điểm \( M \) tạo thành góc với đường thẳng \( PQ \), trong khi đó điểm \( N \) cũng tạo thành góc tương tự. Do đó, khi đường nối \( MP \) và đường nối \( NQ \) đều song song với mỗi bên của góc, điều này dẫn đến rằng bốn điểm đều nằm trên một đường tròn.

Vậy ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( M, N, P, Q \) thuộc cùng một đường tròn.