Để chứng minh hai mệnh đề trong bài toán với tam giác vuông ABC tại A, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh: tam giác AEB đồng dạng với tam giác DAB

- **Giải thích hình vẽ**:
- Giả sử A, B, C là các đỉnh của tam giác vuông, trong đó A là đỉnh vuông.
- H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC.
- Điểm D nằm trên tia đối của AC (nghĩa là bên ngoài tam giác ABC).
- AE là đường vuông góc với BD tại điểm E.

- **Chứng minh đồng dạng**:
1. Xét góc AEB:
- Tam giác AEB có góc AEB là góc giữa cạnh AE và BD.
- AE vuông góc với BD ⇒ góc AEB = 90°.

2. Xét góc DAB:
- DAB là góc trong tam giác DAB, có điểm A và D nằm trên các bên khác nhau.

3. Xét góc ABE:
- Góc ABE là góc ngoài của tam giác DAB, có thể nhận thấy rằng góc ABE = góc ADB (do tính chất của góc trong khe hở).

4. Kết luận:
- Từ đó, ta có:
- Góc AEB = 90°,
- Góc ABE = Góc DAB,
- Góc ADB = Góc AEB (tính chất của góc).

=> Từ các góc tương ứng, ta suy ra rằng tam giác AEB đồng dạng với tam giác DAB theo tiêu chí góc-góc (AA).

### b) Chứng minh: BE.BD = BH.BC

- **Cách chứng minh**:
- Chúng ta có góc BHE = góc BDC.
- Chúng ta rõ ràng có tam giác BHE và tam giác BDC có hai góc tương ứng bằng nhau (góc BHE = góc BDC và góc AHB = góc ADB = 90°).

- **Áp dụng định lý sin**:
- Từ tính chất của các tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{BE}{BD} = \frac{BH}{BC}
\]

- Từ đó suy ra:
\[
BE \cdot BC = BH \cdot BD
\]

- **Kết luận**: Kết hợp với các bước trên, ta có:
\[
BE \cdot BD = BH \cdot BC
\]

### Kết luận toàn bài:
Chúng ta đã chứng minh được hai yêu cầu của bài toán:
1. Tam giác AEB đồng dạng với tam giác DAB.
2. Hệ thức BE.BD = BH.BC.

Điều này rõ ràng cho thấy mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông với các điểm được cho.