Để chứng minh rằng \(\angle BHE = \angle BDC\), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về góc trong tam giác và một số thuộc tính của các đường cao.

**Bước 1: Đánh giá các góc trong tam giác.**
- Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), do đó \(\angle ABC = 90^\circ\).
- Vì \(AH\) là đường cao, nên \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) xuống cạnh \(BC\).
- \(\angle AHB = 90^\circ\) (bởi vì \(AH\) vuông góc với \(BC\)) và \(\angle AHC = 90^\circ\).

**Bước 2: Tính chất của tam giác đồng dạng.**
Chúng ta đã chứng minh rằng tam giác \(AEB\) đồng dạng với tam giác \(DAB\). Từ đó, ta có các tỷ lệ góc tương ứng, cụ thể là:
- \(\angle AEB = \angle DAB\)
- \(\angle ABE = \angle DAB\)

**Bước 3: Sử dụng góc đối diện.**
Ta có \(\angle BAE = \angle BAD\) (do hai góc này đối đỉnh với nhau khi kéo dài cạnh \(AC\) tới điểm \(D\)).
Do đó, ta có:
\[
\angle ABE + \angle BAE = \angle DAB + \angle BAD \Rightarrow \angle AEB = \angle DAB
\]

**Bước 4: Xem xét tam giác \(BHE\) và \(BDC\).**
1. \(BE\) vuông góc với \(BD\) (theo định nghĩa của \(E\)).
2. Theo các tính chất của đồng dạng và góc vuông, ta kết luận được:
- \(\angle BHE\) là góc ở vị trí tương ứng trong tam giác \(BHE\),
- mà \(\angle BDC\) là góc ở vị trí tương ứng trong tam giác \(BDC\).

**Kết luận:**
Dựa trên các đặc điểm và thuộc tính đã chỉ ra, ta có:
\[
\angle BHE = \angle BDC
\]
Chứng minh xong.