Để chứng minh \( SI \) vuông góc với \( AB \), trước hết ta hãy đặt một số điểm và tính chất cần thiết:

1. **Điểm và đoạn thẳng:**
- Cho đường tròn tâm \( O \) với đường kính \( AB \).
- Điểm \( S \) bên ngoài đường tròn.
- Điểm \( M \) là giao điểm của đoạn thẳng \( AS \) với đường tròn.
- Điểm \( N \) là giao điểm của đoạn thẳng \( SB \) với đường tròn.
- Đoạn thẳng \( AN \) cắt đoạn thẳng \( BM \) tại điểm \( I \).

2. **Tính chất hình học:**
- Theo định lý, đoạn thẳng qua điểm nằm ngoài đường tròn và giao với đường tròn tạo thành các góc với dây cung mà nó cắt.

3. **Chứng minh:**
- Ta có tam giác \( OAN \) và tam giác \( OBM \). Cả hai tam giác này đều có bán kính \( OA = OB \) là bằng nhau vì chúng là bán kính của đường tròn.
- Hơn nữa, \( AB \) là đường kính, nên góc \( OAN \) và góc \( OBM \) đều vuông.
- Do đó, góc \( OAN + OMB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

4. **Tính chất giao điểm:**
- Do \( I \) là giao điểm của các đường thẳng \( AN \) và \( BM \), ta nhận thấy rằng \( \angle AIB = \angle OAN + \angle OMB = 180^\circ \).
- Suy ra, điểm \( I \) nằm trên đường thẳng \( AB \).

5. **Bây giờ để chứng minh SI vuông góc với AB:**
- Nhận thấy rằng do \( SI \) giao với \( AB \) tại \( I \) và tạo ra các góc bù với góc vuông tại các điểm \( A \) và \( B \), hãy xét hình vuông \( SIAO \) và \( SIBO \).
- Từ đó, nếu chỉ ra rằng \( SI \perp AB \) thì cũng có thể áp dụng định lý rằng \( SI \) chính là đường trung trực của đoạn \( AB \).

Kết luận: Qua các bước trên, ta đã chứng minh rằng đường thẳng \( SI \) vuông góc với đoạn thẳng \( AB \).