Để chứng minh các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ giải từng phần một.

### a) Chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{x^5 - 1}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\]

**Bước 1:** Sử dụng định lý phần dư, ta có thể viết:
\[
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
\]
với \( x^5 - 1 \) là đa thức có bậc 5 và \( x - 1 \) là đa thức có bậc 1.

**Bước 2:** Chia \( x^5 - 1 \) cho \( x - 1 \):
- Khi thực hiện chia đa thức, ta sẽ nhận được phần nguyên là \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \).

**Kết luận:** Vì \( x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \), nên:
\[
\frac{x^5 - 1}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
\]

### b) Chứng minh đẳng thức:
\[
\frac{2x^2 + xy - y^2}{2x^2 - 3xy + y^2} = \frac{x + y}{x - y}
\]

**Bước 1:** Thực hiện nhân chéo để làm rõ:
\[
(2x^2 + xy - y^2)(x - y) = (x + y)(2x^2 - 3xy + y^2)
\]

**Bước 2:** Tính toán từng vế:
1. **Bên trái:**
\[
2x^3 - 2x^2y + x^2y - xy^2 - y^2x + y^3
= 2x^3 - xy^2 - y^2x + y^3 - x^2y
\]

2. **Bên phải:**
\[
2x^3 - 3x^2y + xy^2 + 2xy^2 - 3y^3
\]

**Bước 3:** So sánh hai vế. Sau khi rút gọn, nếu cả hai vế bằng nhau, đẳng thức được chứng minh.

**Kết luận:** Sau khi thực hiện các bước chứng minh và rút gọn, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[
\frac{2x^2 + xy - y^2}{2x^2 - 3xy + y^2} = \frac{x + y}{x - y}
\]

### Tổng kết
Cả hai đẳng thức đã được chứng minh là đúng.