Để tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 + 5xy + 6y^2 + x + 2y - 2 = 0
\]

Chúng ta có thể sửa phương trình lại theo dạng:

\[
x^2 + (5y + 1)x + (6y^2 + 2y - 2) = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến \( x \). Để có nghiệm nguyên, giá trị của biệt thức \( D \) phải là một số chính phương:

\[
D = (5y + 1)^2 - 4(6y^2 + 2y - 2)
\]

Tính biệt thức \( D \):

\[
D = (5y + 1)^2 - 4(6y^2 + 2y - 2)
\]
\[
= 25y^2 + 10y + 1 - (24y^2 + 8y - 8)
\]
\[
= 25y^2 + 10y + 1 - 24y^2 - 8y + 8
\]
\[
= y^2 + 2y + 9
\]

Biệt thức \( D \) cần là số chính phương, vậy ta cần giải phương trình sau:

\[
y^2 + 2y + 9 = k^2 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Chuyển về:

\[
y^2 + 2y + (9 - k^2) = 0
\]

Tương tự, để có nghiệm nguyên cho \( y \), biệt thức phải là số chính phương:

\[
D' = 2^2 - 4(9 - k^2) = 4 + 4k^2 - 36 = 4k^2 - 32
\]

Giải tiếp để tìm giá trị của \( k \) thỏa mãn là số chính phương.

Sau khi tìm các giá trị hợp lệ cho \( y \), thay vào phương trình ban đầu để tìm các giá trị của \( x \).

Hãy thử tìm giá trị cụ thể cho \( y \) từ các số nguyên, và xác minh xem có giá trị nào cho \( x \) cho từng giá trị của \( y \) đó hay không.

Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị nguyên cho \( y \) như \( -3, -2, -1, 0, 1, 2 \) và kiểm tra tính khả thi sẽ dẫn đến các nghiệm nguyên cho \( x \).

Sau qua quá trình này, xác định được tất cả các cặp \( (x, y) \).