Để tính tổng biểu thức \( S = \frac{3}{3.5} + \frac{3}{5.7} + \frac{3}{7.9} + \ldots + \frac{3}{57.59} + \frac{3}{59.61} \), trước tiên, chúng ta có thể thấy rằng các mẫu số trong từng phân số có thể được viết dưới dạng tích của hai số liên tiếp.

Cụ thể:
\[
S = 3 \left( \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \ldots + \frac{1}{57 \cdot 59} + \frac{1}{59 \cdot 61} \right)
\]

Nhìn vào mẫu thức chung, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng quát cho tổng của dạng phân số như sau:

\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)
\]

Áp dụng công thức này vào từng phần tử trong tổng:

\[
\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right),
\frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right),
\]
\[
\frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right),
\ldots,
\frac{1}{59 \cdot 61} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{59} - \frac{1}{61} \right)
\]

Khi thay vào tổng, ta nhận được:
\[
S = 3 \cdot \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{59} - \frac{1}{61} \right) \right)
\]

Tổng này là một chuỗi liên tiếp, nó sẽ hủy bỏ các phần tử ở giữa:
\[
= 3 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{61} \right)
\]

Giờ ta chỉ việc tính:
\[
\frac{1}{3} - \frac{1}{61} = \frac{61 - 3}{183} = \frac{58}{183}
\]
Vậy:
\[
S = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{58}{183} = \frac{87}{183} = \frac{29}{61}
\]

Cuối cùng, ta có tổng:
\[
\boxed{\frac{29}{61}}
\]