Cho hình bình hành \(ABCD\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\), ta lấy điểm \(E\) sao cho \(ME = MA\).

### a. Tứ giác \(ABEC\) là hình gì?

Để xác định hình dạng của tứ giác \(ABEC\), ta có thể xem xét các tính chất của hình bình hành và điểm \(M\).

- Trong hình bình hành \(ABCD\), ta biết rằng:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- Các cạnh đối diện bằng nhau: \(AB = CD\) và \(AD = BC\).

- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BM = MC\).

- Ta xét vector:
- Gọi \(\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}, \vec{M}, \vec{E}\) lần lượt là tọa độ của các điểm \(A, B, C, D, M, E\).
- Ta sẽ tính toán các vector liên quan để tìm mối quan hệ giữa các điểm.

Ta có \( \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \) và \(\vec{E}\) nằm trên tia đối của \(\vec{MA}\).

Bởi vì \(ME = MA\), ta có \(\vec{E}\) có thể được biểu diễn bằng:
\[
\vec{E} = \vec{A} + 2(\vec{A} - \vec{M}) = \vec{A} + 2\left(\vec{A} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\right) = 2\vec{A} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]

Dễ dàng nhận thấy rằng tứ giác \(ABEC\) có các cạnh \(AB\) và \(AC\) không song song với nhau nhưng có thể có chiều dài tương đương với một số điều kiện. Tuy nhiên, ta cần chứng minh thêm để xác định chính xác \(ABEC\) là hình gì.

Thực tế, \(ABEC\) sẽ là hình thang bằng nhau nếu \(AM \parallel EC\).

### b. Chứng minh \(D, C, E\) thẳng hàng và suy ra \(C\) là trung điểm của \(DE\)

Để chứng minh \(D, C, E\) thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành và đặc điểm của điểm \(E\).

- Từ điều kiện \(ME = MA\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta suy ra rằng \(E\) nằm trên đường thẳng kéo dài từ \(D\) qua \(C\).
- Ta có thể chứng minh rằng \(D, C, E\) thẳng hàng bằng cách chỉ ra rằng:

1. Gọi \(N\) là trung điểm của \(DE\): \(N = \frac{\vec{D} + \vec{E}}{2}\).
2. Do \(E\) nằm đối diện với \(M\) và \(M\) là trung điểm, suy ra khoảng cách từ \(C\) đến \(E\) là bằng \(MC\), do đó từ \(C\) dễ dàng nhận thấy \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DE\).

Tóm lại:
- Tứ giác \(ABEC\) có thể là hình thang nếu xác định được các điều kiện song song.
- \(D, C, E\) thẳng hàng và \(C\) là trung điểm của \(DE\).

Như vậy, đáp án hoàn chỉnh cho bài toán đã được trình bày.