Để chứng minh \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính \( OH \)

- Ta có bán kính của đường tròn \( R = 5 \) cm và độ dài của dây \( AB = 6 \) cm. Để tính độ dài \( OH \) (khoảng cách từ tâm O đến dây AB), ta sử dụng định lý sau:

\[
OH^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = R^2
\]

- Trong đó:
- \( \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm
- \( R^2 = 5^2 = 25 \) cm\(^2\)

- Thay vào công thức:

\[
OH^2 + 3^2 = 25
\]

\[
OH^2 + 9 = 25 \implies OH^2 = 16 \implies OH = 4 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \)

Để chứng minh \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \), ta cần chỉ ra rằng \( OM \) vuông góc với \( AB \) và \( \angle OMB \) và \( \angle OMA \) đều bằng nhau. Từ điều này, ta rút ra rằng \( M \) chia cung \( AB \) thành hai phần bằng nhau.

1. Tia \( OH \) cắt đường tròn tại \( M \).
2. Do \( OH \) vuông góc với \( AB \), theo tính chất của tiếp tuyến và dây, ta có:

- \( \angle OHA = \angle OHB = 90^\circ \).
- Do \( OM \) vuông góc với \( AB \), nên \( OM \) là đường trung bình của cung \( AB \).

3. Vì \( M \) là giao điểm của \( OH \) với đường tròn, và \( OM \) vuông góc với \( AB \), suy ra \( OM \) cũng là đường trung bình của dây \( AB \).

Kết hợp các điều trên, ta chứng minh rằng:

- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( \angle OMA = \angle OMB \).

Do đó, \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \).

Kết quả: \( M \) là điểm chính giữa của cung \( AB \).