Cho hình chóp SABCD có đáy là ABCD là hình chữ nhật. Gọi M; N theo thứ tự là trọng tâm tam giác SAB tam giác SCD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng SAC; O là tâm của hình chữ nhật ABCD

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần định hình và tìm hiểu cấu trúc hình học của hình chóp SABCD.

**Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ**

Giả sử A, B, C, D là các đỉnh của hình chữ nhật ABCD và có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(0, b, 0) \)
- \( S(0, 0, h) \) (đỉnh chóp tại điểm S và cao bằng h)

**Bước 2: Tìm tọa độ M và N**

- Tọa độ của trọng tâm M của tam giác SAB là:
\[
M = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + h}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3} \right)
\]

- Tọa độ của trọng tâm N của tam giác SCD là:
\[
N = \left( \frac{0 + a + 0}{3}, \frac{b + 0 + 0}{3}, \frac{h + 0 + 0}{3} \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{h}{3} \right)
\]

**Bước 3: Tìm đường thẳng MN và giao điểm G**

Phương trình của đường thẳng MN có thể viết dưới dạng tham số như sau:
\[
\vec{MN} = (N - M) = \left( 0, \frac{b}{3}, 0 \right)
\]
Do đó tọa độ của G có thể được tìm theo tham số \( t \):
\[
G = M + t (N - M) = \left( \frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3} \right) + t \left( 0, \frac{b}{3}, 0 \right) = \left( \frac{a}{3}, \frac{tb}{3}, \frac{h}{3} \right)
\]

G là giao điểm của đường thẳng \( MN \) với mặt phẳng \( SAC \). Mặt phẳng \( SAC \) có phương trình:
\[
y = \frac{b}{a} x
\]
Thay tọa độ G vào phương trình mặt phẳng:
\[
\frac{tb}{3} = \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{3} \implies tb = b \implies t = 1 \; (với b \neq 0)
\]

Vậy G có tọa độ:
\[
G = \left( \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{h}{3} \right)
\]

**Bước 4: Tính O - tâm của hình chữ nhật ABCD**

Tọa độ O là:
\[
O = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right)
\]

**Bước 5: Tính SĐ và GO**

Khoảng cách SG:
\[
SG = \sqrt{ \left( \frac{a}{3} - 0 \right)^2 + \left( \frac{b}{3} - 0 \right)^2 + \left( \frac{h}{3} - h \right)^2 }
= \sqrt{ \frac{a^2}{9} + \frac{b^2}{9} + \frac{(h - 3h/3)^2}{9} }
= \sqrt{ \frac{a^2 + b^2 + (h/3)^2}{9}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + h^2}}{3}
\]

Khoảng cách GO:
\[
GO = \sqrt{ \left( \frac{a}{3} - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{3} - \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{3} - 0 \right)^2 }
= \sqrt{ \left( \frac{2a - 3a}{6} \right)^2 + \left( \frac{2b - 3b}{6} \right)^2 + \left( \frac{h}{3} \right)^2 }
= \sqrt{ \left( -\frac{a}{6} \right)^2 + \left( -\frac{b}{6} \right)^2 + \left( \frac{h}{3} \right)^2 }
\]

Cuối cùng, chúng ta có:
\[
\frac{SG}{GO} = k
\]

Và từ đó thực hiện các phép toán ánh xạ nếu cần thiết và lấy kết quả là tỉ số. Tuy nhiên, để hoàn tất cần phải tính giá trị cụ thể của \( SG \) và \( GO \) và tìm giá trị tỷ lệ của chúng.

Như vậy, tỷ số \( \frac{SG}{GO} \) sẽ tùy thuộc vào độ lớn của \( a \), \( b \) và \( h \). Cụ thể để tính toán ký hiệu hóa tốt hơn và có thể đưa ra định lý hoặc khái niệm cụ thể hơn về giải pháp rất cần thực hành trên nền tảng bài toán này!