Để tìm tỉ lệ \( \frac{AN}{NI} \) trong bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về hình học không gian, đặc biệt là các tỉ lệ liên quan đến trọng tâm và trung điểm.

Giả sử các điểm \( A, B, C, D \) có tọa độ trong không gian như sau:

- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a_1, a_2, a_3) \)
- \( C(b_1, b_2, b_3) \)
- \( D(c_1, c_2, c_3) \)

### Bước 1: Xác định tọa độ các điểm M, N và G

- Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \):
\[
M = \left( \frac{0 + a_1}{2}, \frac{0 + a_2}{2}, \frac{0 + a_3}{2} \right) = \left( \frac{a_1}{2}, \frac{a_2}{2}, \frac{a_3}{2} \right)
\]

- Điểm \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \):
\[
N = \left( \frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}, \frac{a_3 + b_3}{2} \right)
\]

- Điểm \( G \) là trọng tâm của tam giác \( BCD \), được tính như sau:
\[
G = \left( \frac{b_1 + c_1 + a_1}{3}, \frac{b_2 + c_2 + a_2}{3}, \frac{b_3 + c_3 + a_3}{3} \right)
\]

### Bước 2: Tìm phương trình của đường thẳng MG

Đường thẳng \( MG \) có thể viết theo phương trình vector như sau:
\[
\vec{r} = \vec{M} + t(\vec{G} - \vec{M})
\]

### Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng ABC

Mặt phẳng \( ABC \) có phương trình có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A, B, C, D \) được xác định từ các điểm \( A, B, C \).

### Bước 4: Tìm giao điểm I giữa đường thẳng MG và mặt phẳng ABC

Để tìm giao điểm \( I \), ta sẽ thay tọa độ của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng và giải cho \( t \).

### Bước 5: Tính tỉ lệ AN/NI

Cuối cùng, từ tọa độ các điểm \( A, N, I \), ta có thể tính được các đoạn \( AN \) và \( NI \). Từ đó, tỉ lệ:
\[
\frac{AN}{NI}
\]
sẽ được biểu diễn bằng một giá trị cụ thể.

Thực hiện các phép tính chi tiết sẽ giúp chúng ta có được tỉ lệ cụ thể này. Nếu cần, bạn có thể cung cấp tọa độ cụ thể của các điểm để tôi có thể tính toán chính xác hơn.