Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng bước như sau:

1. **Gọi lưu lượng của vòi thứ nhất là \(x\) (m³/h) và lưu lượng của vòi thứ hai là \(y\) (m³/h)**.
2. **Tổng thời gian đầy bể là 5 giờ**. Do đó, lưu lượng của cả hai vòi chảy vào bể trong 5 giờ làm đầy bể, tức là:

\[
5(x + y) = 1 \quad \text{(1)}
\]

3. **Những gì đã xảy ra trong tình huống sau**:
- Vòi thứ nhất mở trong 2 giờ: \(2x\) m³ nước.
- Vòi thứ hai mở trong 1 giờ: \(1y\) m³ nước.
- Tổng nước đã chảy vào bể là \(2x + y = \frac{1}{4}\) m³, tức là:

\[
2x + y = \frac{1}{4} \quad \text{(2)}
\]

4. **Giải hệ phương trình (1) và (2)**:

Từ (1):
\[
x + y = \frac{1}{5} \quad \text{(3)}
\]

Thay \(y\) từ (3) vào (2):
\[
2x + \left(\frac{1}{5} - x\right) = \frac{1}{4}
\]
\[
2x + \frac{1}{5} - x = \frac{1}{4}
\]
\[
x + \frac{1}{5} = \frac{1}{4}
\]
\[
x = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20} \quad \text{(4)}
\]

Thay giá trị \(x\) vào (3):
\[
\frac{1}{20} + y = \frac{1}{5}
\]
\[
y = \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{4 - 1}{20} = \frac{3}{20} \quad \text{(5)}
\]

5. **Tính thời gian mà vòi thứ hai cần để đẩy đầy bể**:
- Tổng lưu lượng của vòi thứ hai là \(y = \frac{3}{20}\) m³/h.
- Thời gian để vòi thứ hai làm đầy bể là:

\[
\text{Thời gian} = \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{3}{20}} = \frac{20}{3} \text{ giờ}
\]

Tóm lại, thời gian riêng của vòi thứ hai chảy đầy bể là **\( \frac{20}{3} \) giờ** (hay khoảng 6.67 giờ).