Để giải phương trình \( |x + 6| + |x + 2| + |x + 8| + |x + 1| = 4x \), ta phải xem xét các trường hợp dựa trên dấu của các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Các điểm phân chia là: \( x = -8, -6, -2, -1 \).

Ta sẽ xem xét các khoảng mà \( x \) nằm trong từng trường hợp:

1. **Khoảng \( x < -8 \)**:
\[
|x + 6| = -x - 6, \quad |x + 2| = -x - 2, \quad |x + 8| = -x - 8, \quad |x + 1| = -x - 1
\]
Phương trình trở thành:
\[
(-x - 6) + (-x - 2) + (-x - 8) + (-x - 1) = 4x
\]
Hay:
\[
-4x - 17 = 4x \implies -8x = 17 \implies x = -\frac{17}{8} \text{ (Không thỏa mãn } x < -8)
\]

2. **Khoảng \( -8 \leq x < -6 \)**:
\[
|x + 6| = -x - 6, \quad |x + 2| = -x - 2, \quad |x + 8| = x + 8, \quad |x + 1| = -x - 1
\]
Phương trình trở thành:
\[
(-x - 6) + (-x - 2) + (x + 8) + (-x - 1) = 4x
\]
Hay:
\[
-2x - 1 = 4x \implies -6x = 1 \implies x = -\frac{1}{6} \text{ (Không thỏa mãn } -8 \leq x < -6)
\]

3. **Khoảng \( -6 \leq x < -2 \)**:
\[
|x + 6| = -x - 6, \quad |x + 2| = -x - 2, \quad |x + 8| = x + 8, \quad |x + 1| = -x - 1
\]
Phương trình trở thành:
\[
(-x - 6) + (-x - 2) + (x + 8) + (-x - 1) = 4x
\]
Hay:
\[
-2x - 1 = 4x \implies -6x = 1 \implies x = -\frac{1}{6} \text{ (Không thỏa mãn } -6 \leq x < -2)
\]

4. **Khoảng \( -2 \leq x < -1 \)**:
\[
|x + 6| = -x - 6, \quad |x + 2| = -x - 2, \quad |x + 8| = x + 8, \quad |x + 1| = -x - 1
\]
Phương trình trở thành:
\[
(-x - 6) + (-x - 2) + (x + 8) + (-x - 1) = 4x
\]
Hay:
\[
-2x - 1 = 4x \implies -6x = 1 \implies x = -\frac{1}{6} \text{ (Không thỏa mãn } -2 \leq x < -1)
\]

5. **Khoảng \( -1 \leq x < -0 \)**:
\[
|x + 6| = -x - 6, \quad |x + 2| = -x - 2, \quad |x + 8| = x + 8, \quad |x + 1| = x + 1
\]
Phương trình trở thành:
\[
(-x - 6) + (-x - 2) + (x + 8) + (x + 1) = 4x
\]
Hay:
\[
1 = 4x \implies x = \frac{1}{4} \text{ (Thỏa mãn } -1 \leq x < 0)
\]

Sau khi thử tất cả các khoảng, nghiệm cuối cùng tìm được là:
\[
\boxed{\frac{1}{4}}
\]