Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### a) Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) và có cách bố trí như sau:
- \( A \) là đỉnh vuông.
- \( B \) nằm bên phải của \( A \) (trên cạnh \( AB \)).
- \( C \) nằm phía trên của \( A \) (trên cạnh \( AC \)).
- Đường thẳng \( DE \) song song với \( BC \) cắt \( AB \) tại \( D \) và \( AC \) tại \( E \).

Ta có:
- \( N \): là trung điểm của \( BC \), do đó \( N \) có tọa độ bằng trung bình của tọa độ của \( B \) và \( C \).
- \( M \): là trung điểm của \( DE \), do đó tọa độ \( M \) có thể tính bằng trung bình của tọa độ \( D \) và \( E \).

Vì \( DE \) song song với \( BC \), nên đoạn \( DE \) và đoạn \( BC \) đều nằm trong hai đường thẳng song song. Do đó, tam giác \( ADM \) và tam giác \( ANB \) sẽ có tỉ lệ giống nhau.

Chúng ta có thể sử dụng định lý về các điểm nằm trên hai đường thẳng song song. Nếu nối các điểm giữa \( A \) và trung điểm của một đoạn thẳng song song (ở đây là đoạn \( DE \) so với đoạn \( BC \)), thì điểm A, M, và N sẽ thẳng hàng.

### b) Chứng minh MN = \(\frac{BC - DE}{2}\)

Ta có \( MN \) là chiều dài đoạn nối giữa \( M \) và \( N \). Do \( M \) là trung điểm của \( DE \) và \( N \) là trung điểm của \( BC \), ta có thể tính chiều dài của đoạn \( MN \) như sau:

1. Chiều dài \( DE \) là chiều dài của đoạn thẳng cắt hai cạnh của tam giác là song song với cạnh đáy \( BC \).
2. Theo định lý trung bình trong tam giác, nếu ta có một đoạn thẳng song song với cạnh đáy chia tam giác thành một đoạn vào phần lớn bằng nhau, thì đoạn nối giữa hai trung điểm sẽ bằng nửa chiều dài đoạn của mặt đáy trừ đi chiều dài đoạn thẳng nó cắt.

Ta cũng có thể sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng giữa hai trung điểm:

\[
MN = \frac{1}{2} ( BC - DE )
\]

Kết hợp cả hai kết quả trên, ta có:

\[
MN = \frac{BC - DE}{2}
\]

Vì vậy ta đã chứng minh được \( MN = \frac{BC - DE}{2} \).

Như vậy, ta đã hoàn thành hai yêu cầu của bài toán.