Cho tam giác ABC, có góc B = 60 độ

Để chứng minh các phần của bài toán với tam giác \( ABC \) có góc \( B = 60^\circ \) và \( C < A \), ta làm như sau:

### a) Chứng minh \( AB < BC \)

Vì \( B = 60^\circ \) và \( C < A \), theo định lý về góc, ta có:
- Nếu \( C < A \), thì \( 180^\circ - C > 180^\circ - A \), từ đó suy ra \( A > C \).

Sử dụng định lý sin, ta có:

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
\]

Vì \( A > C \), nên \( \sin A > \sin C \) (vì hàm sin là tăng trên khoảng \( (0^\circ, 90^\circ) \)). Do đó, chúng ta có:

\[
\frac{AB}{\sin C} < \frac{BC}{\sin A}
\]

Từ đó suy ra:

\[
AB < BC \cdot \frac{\sin C}{\sin A}
\]

Mà \( \sin C < \sin A \), nên:

\[
AB < BC
\]

Kết luận: \( AB < BC \).

### b) Chứng minh tam giác \( ABD \) là tam giác đều

Trên \( BC \), ta lấy điểm \( D \) sao cho \( BD = AB \).

Ta đã chứng minh \( AB < BC \).

Sau khi có \( BD = AB \) và \( B = 60^\circ \):

- Trong tam giác \( ABD \), chúng ta có cạnh \( BD \) bằng cạnh \( AB \).
- Áp dụng định lý về các góc trong tam giác:

Theo quy tắc tổng ba góc trong tam giác ta có:
\[
\angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ
\]

Với góc \( \angle ABD = \angle BAD = 60^\circ \) (do \( BD = AB \) và chính là căn cứ để định nghĩa tam giác đều).

Ta tính:
\[
\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ
\]

Do đó, \( \angle ABD = \angle ADB = \angle BAD = 60^\circ \), và tam giác \( ABD \) là tam giác đều.

### c) So sánh độ dài \( AB \), \( BC \), \( CA \)

Từ phần (a), ta đã chứng minh \( AB < BC \).

Vì \( \angle C < \angle A \), ta cũng sử dụng định lý sin để so sánh \( CA \) với \( AB \).

Có:

\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow AC = AB \cdot \frac{\sin B}{\sin C}
\]

Vì \( B = 60^\circ \), nên \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( \sin C < \sin A \), từ đó chúng ta có thể suy ra:

\[
AC > AB \quad \text{(do \( \sin B > \sin C \))}
\]

Tóm lại:
- \( AB < BC \)
- \( AB < AC \)

Và do đó:
\[
AB < AC < BC
\]

Kết luận rằng độ dài các cạnh được so sánh là \( AB < AC < BC \).